1798年,马尔萨斯在《人口论》中提出:人口按几何级数增长而生活资源只能按算术级数增长,所以不可避免地要导致饥馑、战争和疾病。几百年过去了,马尔萨斯人口学模型至今仍可以给我们许多启示
Population growth is exponential while the growth of the food supply was expected to be arithmetical
–Thomas Robert Malthus
Malthus Population Growth Model 马尔萨斯人口增长模型:
dtdp∝p
dtdp=(b−d)p
p :人口数量;b:人口增长率;d:死亡率
解微分方程
∫p1dp=∫(b−d)dt
lnp=(b−d)t
可得:
p=p(0)e(b−d)t
P(0)表示初始值,即 t=0 这个模型正是本章开头马尔萨斯提出的理论,人口是指数爆炸级增长的
事实上,用这个模型来描述生物界物种增长是不合理的,因为自然界的生物在数量的增长过程中会受到资源短缺,种内竞争等因素的限制,数量不可能无限增长,数学模型建立好后是要根据实际情况不断修正的,那么我们如何改进马尔萨斯的模型呢?
Logistic Model –模型的改进
这里我们考虑自然资源和种内竞争等因素对生物数量增长的影响
为了使模型简化:我们需要做一个假设
因为资源短缺、种内竞争的存在, 净增长率 (b-d)不可能为常数,而是一个随着种群数量增长下降的状态,我们设
(b−d)=r,即
dtdp=rp, 我们将通过重新定义变量
r 来修正马尔萨斯模型
Assumption:假设净增长率
r随着种群数量
p 呈线性关系
r=ap+b
a、b 都是常数,结合实际情况,我们可以求出这两个常数, 注意这里
r 是关于
p的函数:
r(p)
-
注意到初始状态下,增长率是
(b−d)=r , 所以有:
r(0)=r
-
当种群数量达到最大,即此时自然环境最为恶劣,种群不再增长, 所以有:
r(k)=0
这里
k指得是环境能容纳种群的最大数量,Capacity
由上述两个条件可以用待定系数法解出常数
a ,
b
a=−rk,
b=r
所以:
r(p)=r−krp
将其代入马尔萨斯模型中:
dtdp=(r−krp)p
把
r 提出来, 得到 Logistic Model
dtdp=rp(1−kp)
解微分方程:
p(1−p/k)1dtdp=r
∫p(1−p/k)1dp=∫rdt
∫p1−k−p1dp=∫bdt
log(p)−log(k−p)=bt+C
log(k−pp)=bt+log(k−p(0)p(0))
k−pp=k−p(0)p(0)ebt
(k−p(0))p(t)=(k−p(t))p(0)ebt
所以
p(t)=k+p(0)(ekt−1)p(0)kekt
通过分离变量,我们求得了 logistics Model 的解,其中
p(0) 表示初始值
通过模型的求解,我们可以得到一个函数图像:
通过函数图像我们分析出模型增长特点:
- 最开始时增长很慢
- 之后增长率逐渐呈现指数形式
- 最后增长趋于缓慢,就像对数函数(Logarithm)一样
所以:自然界中符合这种形式的增长,都可以叫做 Logistic 模型;
模型的应用:
Logistic 模型可以反应很多自然规律,并且比指数增长模型更具描述性:
例如,它们可以用来为创新过程建模:设想一下,在创新的早期阶段,当创新初期,是几乎看不到增长;随后,大量的研究和开发工作完成,该行业也大致呈指数级增长;最后,在后期,当市场上有多个竞争对手时,“最简单”的改进已经完成,创新速度明显放缓,接近某个极限值。
Logistics 模型在医学,化学,生态学,语言学,机器学习等众多领域有着更加深入的应用,似乎大量的自然现象都可以用这种形式的增长来描述。