Atcoder Beginner Contest 171 F

题意： 给定一个字符串 $S$，问插入 $k$个字符后可以形成多少个不同的字符串，答案对 $10^9+7$取模。
题解： 设字符串 $S$长度为 $len$，当插入了 $k$个字符后长度变为 $len+k$，故我们可以枚举字符串 $S$的 $len$个字符位置。

1. 枚举 $i$为字符串 $S$中 $S[len-1]$这个字符（最后一个字符）的位置，那么之后的 $len+k-i$个字符每个都有 $26$个选择，即 $26^{len+k-i}$种。
2. 那么对于前面 $i-1$个字符，（第 $i$个字符已经确定），我们先选择其中 $len-1$个位置作为 $S$的前 $len-1$个字符，则剩下的 $i-len$个则只有25种选择。至于这 $i-len$个只有25种就是如下图中 $[$^ ${S_i}]$的这种字符，因为如果在 $S_i$和 $S_{i-1}$间的 $x$这个位置出现了 $S_i$，那么相当于将这个 $S_i$的位置选择在了 $x$，后面的又是根据 $S_{i+1}$来选择了。
3. 换种方式理解 $2$：这个过程可以看出 $dp$的状态转移。那么我们考虑 $S$中最后一个字符 $S[len-1]$的位置，由 $1$可知道当确定了 $S[len-1]$的位置后，其后面的所有字符有 $26$种选择，所以当我们在 $S_{len-2}$和 $S_{len-1}$中插入了一个和 $S_{len-1}$相同的字符，相当于将 $S_{len-1}$的位置前移了，那么就是另一种情况了。所以枚举的前 $i$个字符中的 $i-len$个字符有 $25$种情况。

戳我进官方题解
下图是官方题解图：

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
ll fac[N], inv[N];
char s[N];
int k;

ll qp(ll a, ll b) {
    ll res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

void init() {
    fac[0] = fac[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    inv[N - 1] = qp(fac[N - 1], mod - 2);
    for(int i = N - 2; i >= 0; i--) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}

ll C(ll a, ll b) {
    if(b > a) return 0ll;
    return fac[a] * inv[b] % mod * inv[a - b] % mod;
}

ll add(ll a, ll b) {
    return (a + b) % mod;
}

int main()
{
    init();
    scanf("%d", &k);
    scanf("%s", s);

    ll res = 0;
    int len = strlen(s);

    for(int i = len; i <= k + len; i++) //枚举前i个字符为S的所在地，即第i个位置是字符s[len-1]的所在地
        res = add(res, C(i - 1, len - 1) * qp(25ll, i - len) % mod * qp(26ll, k + len - i) % mod);
    printf("%lld\n", res);

    return 0;
}