刷题系列——区间 dp

区间 dp 通过合并区间实现。若设计的状态空间较大考虑离散化。

状态令 $f_{i,j}$ 为一个区间的最优值，特定情况下加上一维。转移通常为 $O(n^2)$ ，如果是环，先断环为链。

P1005 矩阵取数游戏

每次取边缘值。

边缘值，意味着？余下能取的数还是一个区间。而对于每一行是独立的。

$f_{i,j} = \max \{f_{i-1, j} + a_{i-1} \times 2 ^{m - j + i - 1}, f_{i, j +1} + a_{j+1} \times 2 ^{m - j + i - 1} \}$

高精不说，注意区间 dp 不存在空区间，所以枚举长度为一的区间模拟最终删除。

CF1114D Flood Fill

有一个长度为 $n$ 的序列，定义 $[i,j]$ 为联通块当且仅当 $[i,j]$ 内的元素为同一颜色。每次可以将一个联通块的颜色染成另一个颜色，求最少染多少次才能让 $[1,n]$ 是一个联通块。

先将相同的颜色缩成一个元素。状态转移为

$f_{i,j} = f_{i + 1, j - 1} + 1\quad (i = j)$

$f_{i,j} = max \{f_{i + 1, j}, f_{i, j-1} \} + 1 \quad (i \not= j)$

P1220 关路灯

有 $n$ 盏灯，每盏灯都有功率，老张在第 $i$ 盏灯前。老张每秒可以从一个灯移动到与它相邻的灯，关掉一个灯不用时间。问最少消耗的电功率。

因为关灯不用时间，所以路过的灯都顺手关掉，意味着关掉 $[i,j]$ 的灯最后位置不在 $i$ 就在 $j$ 。设 $f_{i,j,0}$ 为关掉了 $[i,j]$ 灯，停留在 $i$ 上最小总电功， $f_{i,j,1}$ 为停留在 $j$ 上的最小总电功。对于一个 $[i,j]$ ，如果最后在 $i$ ，可能是从 $i-1$ 走来的，也有可能是从 $j$ 掉头回来的，求最小值即可。对于 $j$ 同理。先前缀和预处理 $sum$ 。

$f_{i,j,0} = min { f_{i+1,j,0} + (a_{i+1} - a_i) \times (sum_n + sum_i - sum_j), \ f_{i+1,j,1} + (a_j - a_i) \times (sum_n + sum_i - sum_j)} \quad$

$f_{i,j,1} = min {f_{i,j-1,0} + (a_j - a_i) \times (sum_n + sum_{i-1} - sum_{j-1}), \ f_{i,j-1,1} + (a_j - a_{j-1}) \times (sum_n + sum_{i-1} - sum_{j-1}) }$
当然，若将灯坐标的范围扩大，可以离散化。

P1880 石子合并

一些数排成一环，可以将相邻的两个数合并，权值为两数之和，求合并为一个数的最大权值和最小权值。

只考虑最大权值，先将长度为 $n$ 的环切成长度为 $n \times 2$ 的链。设 $f_{l,r}$ 为将 $[l,r]$ 的数合并为一堆的最大权值，可以枚举一个分界点，用前缀和预处理。dp 完后扫一遍取最大值即可。转移方程为

$f_{l,r} = max \{ f_{l,k \in [l,r)} + f_{k + 1, r} + sum_r - sum_{l-1} \}$

POJ 2955 Brackets

给定一个括号序列，求最长合法括号子序列的长度。合法的括号序列满足下列条件

空的括号序列是合法的。
如果一个括号序列 s 是合法的，那么 (s) 和 [s] 都是合法的。
如果两个括号序列 a 和 b 都是合法的，那么 ab 也是合法的。
其他的括号序列都是不合法的。

设 $f_{l,r}$ 为 $[l,r]$ 的最大匹配数。

for (int i = 1; i < n; i++)

    for (int l = 0; l < n - i; l++){
        int r = l + i;
        if (s[l] == '(' && s[r] == ')' || s[l] == '[' && s[r] == ']') 
            dp[l][r] = dp[l + 1][r - 1] + 2;
        for (int j = l; j < r; j++)
            dp[l][r] = max(dp[l][r], dp[l][j] + dp[j + 1][r]);
    }

SCOI2003 字符串折叠 & SCOI2007 压缩

求一个字符串的最短可嵌套压缩长度。如 AAAAAAAAAABABABCCD 最短为 9(A)3(AB)CCD

对于一个字符串，令 $f_{i,j}$ 为 $[i,j]$ 的最短压缩长度，有三个压缩。

原串形式，将 $f_{i,j}$ 赋初值为 $j-i+1$ 。
拼接形式，枚举拼接点 $k$ ， $f_{i,j} = \min \{f_{i,j}, f_{i,k} + f_{k + 1, j} \}$ 。
嵌套形式，枚举嵌套的周期长度，若能嵌套，则转移，与重复次数的位数 $+ 2$ 即两个括号 $+$ 周期长度取 min。

IOI1998 Polygon

给定一个环，先删一条边，再每次选择一条边，将对应的两点合并，点权为原来两个点的点权进行边上符号的运算即为加法或乘法。求只余下一个点的最大点权。

先将长度为 $n$ 的环切成长度为 $n \times 2$ 的链。设 $f_{i,j}$ 为区间 $[i,j]$ 的最大值。是不是枚举分界点 $k$ 进行区间合并？对，那就错了，因为乘法负负得正。可能两个极小的负值相乘为正值，所以用 $g_{i,j}$ 表示最小值。

$f_{i,j} = \max \{f_{i,j}, \max \{f_{i,j} \times f_{k + 1, j}, \max \{g_{i,k} \times g_{k+1,j}, \max \{ f_{i,k} \times g_{k + 1, j },g_{i,k} \times f_{k + 1, j} \} \} \} \}$

$g_{i,j} = \min \{g_{i,j}, \min \{f_{i,k}, f_{k + 1, j}, \min \{g_{i,k} \times g_{k + 1, j}, \min\{f_{i,k} \times g_{k+1,j}, g_{i,k} \times f_{k + 1, j} \} \} \} \}$

HAOI2008 玩具取名

有 WING 四个字母，每个字母可以用 WING 中给定的任意两个字符代替，给定一个字符串，求它可以还原成WING 中哪几个字母。

如果正向还原，比较复杂，不如看作压缩。如果按字符，比较复杂，不如将字符转换为数字。有趣的是，该题不让我们求最优方案而是问有无方案，所以设 $f_{i,j,k}$ 为 $[i,j]$ 区间内的数字能否通过 $k$ 转换来。对于转移，枚举一个分界点 $mid$ ，检验 $mid$ 两边能不能压缩成任意可以压缩成 $k$ 的两个字符即可。

CQOI2007 涂色

将一个空字符串涂成给定的目标颜色字符串，每次可以涂一个区间覆盖之前的颜色，求最少涂色次数。

设 $f_{i,j}$ 为将 $[i,j]$ 涂成目标颜色的最少次数。初值当 $i = j$ 时涂一次，当 $i \not= j \vee s_i = s_j$ 时，在涂 $[i,j-1]$ 或 $[i+1,j]$ 时多涂一格即可。当 $i \not= j \vee s_i \not= s_j$ 时，枚举分界点 $k$ ，将 $[i,j]$ 分成 $[i,k]$ 与 $[k+1,j]$ 两块来涂色即可。