matlab判断系统稳定性 -Routh劳斯判据

Routh(稳定判据)-代数判据(依据根与系数的关系判断根的分布)

1.系统稳定的必要条件

设系统特征方程为:
$\boldsymbol{D}(s)=\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{s}^{n}+\boldsymbol{a}_{n-1} \boldsymbol{s}^{n-1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{1} s+\boldsymbol{a}_{0}=\boldsymbol{0}$

$s^{n}+\frac{a_{n-1}}{a_{n}} s^{n-1}+\cdots+\frac{a_{1}}{a_{n}} s+\frac{a_{0}}{a_{n}}=\left(s-s_{1}\right)\left(s-s_{2}\right) \cdots\left(s-s_{n}\right)$
特征根是: $s_1,s_2,s_3...$

比较系数:
$\frac{a_{n-1}}{a_{n}}=-\sum_{i=1}^{n} s_{i}, \quad \frac{a_{n-2}}{a_{n}}=\sum_{i \leq j \atop i=1, j=2}^{n} s_{i} s_{j}$
$\frac{a_{n-3}}{a_{n}}=-\sum_{i<j<k \atop i=1, j=2, k=3}^{n} s_{i} s_{j} s_{k}, \quad \frac{a_{0}}{a_{n}}=(-1)^{n} \prod_{i=1}^{n} s_{i}$

系统稳定的必要条件:
各系数同号且不为零
或
$a_{\mathrm{n}}>0, a_{\mathrm{u}-1}>0, \ldots, a_{1}>0, a_{0}>0$

2.系统稳定的充要条件

特征方程: $\boldsymbol{D}(s)=\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{s}^{n}+\boldsymbol{a}_{n-1} \boldsymbol{s}^{n-1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{1} s+\boldsymbol{a}_{0}=\mathbf{0}$

Routh表:
$\begin{array}{lllllll} s^{n} & a_{n} & a_{n-2} & a_{n-4} & a_{n-6} & \cdots \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & a_{n-7} & \cdots \\ s^{n-2} & A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} & \cdots \\ s^{n-3} & B_{1} & B_{2} & B_{3} & B_{4} & \cdots \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ s^{2} & D_{1} & D_{2} & & & \\ s^{1} & E_{1} & & & & \\ s^{0} & F_{1} & & & & \end{array}$

其中:
$\begin{array}{cl} A_{1}=\frac{a_{n-1} a_{n-2}-a_{n} a_{n-3}}{a_{n-1}} & B_{1}=\frac{A_{1} a_{n-3}-a_{n-1} A_{2}}{A_{1}} \\ A_{2}=\frac{a_{n-1} a_{n-4}-a_{n} a_{n-5}}{a_{n-1}} & B_{2}=\frac{A_{1} a_{n-5}-a_{n-1} A_{3}}{A_{1}} \\ A_{3}=\frac{a_{n-1} a_{n-6}-a_{n} a_{n-7}}{a_{n-1}} & B_{3}=\frac{A_{1} a_{n-7}-a_{n-1} A_{4}}{A_{1}} \end{array}$

Routh判据:
Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。
因此，系统稳定的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。
上面的内容都来自[1]

###########################下面是matlab计算routh表######################

例1.系统的特征方程
$\mathbf{D}(s)=s^{4}+s^{3}-19 s^{2}+11 s+30=0$

Routh表:
$\begin{array}{lccc} s^{4} & \mathbf{1} & \mathbf{- 1 9} & \mathbf{3 0} \\ s^{3} & \mathbf{1} & \mathbf{1 1} & \mathbf{0} \\ s^{2} & \frac{\mathbf{1} \times(-\mathbf{1 9})-\mathbf{1} \times \mathbf{1 1}}{\mathbf{1}}=-\mathbf{3 0} & \mathbf{3 0} & \mathbf{0}(改变符号一次) \\ s^{1} & \frac{(-\mathbf{3 0}) \times \mathbf{1 1}-\mathbf{1} \times \mathbf{3 0}}{-\mathbf{3 0}}=\mathbf{1 2} & \mathbf{0} & \mathbf{0}(改变符号一次) \\ s^{0} & \mathbf{3 0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{array}$

routh_compute.m计算得到:
[ 1, -19, 30]
[ 1, 11, 0]
[ -30, 30, 0]
[ 12, 0, 0]
[ 30, 0, 0]

Matlab实验结果分析：
由于第一列元素没有全部为正，因此该系统不稳定.

特别地有:

系统阶数	n的值	充要条件
二阶	2	$a_{2}>0, \quad a_{1}>0, \quad a_{0}>0$
三阶	3	$a_{3}>0, \quad a_{2}>0, \quad a_{0}>0, \quad a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}>0$

Reference:
[1系统的稳定性常见判据