本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：
http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html
第八课时：求解Ax=b：可解性和解的结构
本课时的目标是Ax=b，可能有解，也可能无解，需要通过需要消元才知道，有解的话是唯一解还是很多解。
继续用上课时的例子。
注意到，方程组中，第三行是第一行和第二行的和。如果方程组有解，b1 b2 b3需要满足什么条件？必须满足b3=b1+b2。消元告诉我们，这是必须的。换句话说，左侧行的线性组合得到0，那么右侧常量线性组合也比为0。
第一阶段消元，增广矩阵Augmented matrix=[A b]：（哈哈，上个教授的图）
第二阶段消元，可以看到最后一个方程是什么，常量0=b3-b2-b1，验证了打头说的必须满足的有解的条件：b3=b1+b2
我们需要求解的是Ax=b中的x，现在b我们可以根据b3=b1+b2来选定一组值，假设b=[1 5 6]。现在只有两个方程，4个未知数。
Ax=b可解性Solvability：有解时右侧向量b须满足的条件
1）有解，仅当b属于A的列空间时成立，即，b必须是A的各列的线性组合，
2）行的线性组合如果得到零行，那么b中元素的同样组合必然也是零。
这两种描述是等价的！他们同样是描述方程组有解的条件。
求解Ax=b的解
1）特解，将所有的自由量设置为0，然后解出主变量得到特解Xp
2）零空间中的任意x，Xn
因此Ax=b的所有解为特解加上零空间中任意向量。
对于方程组某解，其与零空间内任意向量之和仍为解，因为零空间右侧得到的是0。
如此，就可以得到上式方程组的所有解：
把所有这些解在四维空间中都画出来，想象一下，Xp是一个非原点的点，Xn是一个穿过原点的平面，那么Xp+Xn是两者的组合，是一个不经过原点的经过Xp的二维平面，注意它不是子空间。
秩r与Ax=b的解的关系
秩r的m×n的矩阵A始终有：r<=m, r<=n
1）列满秩r=n，各列线性无关
每一列都有主元，0个自由变量，此时零空间N(A)只有零向量，因为没有自由变量能够赋值，列的线性组合无法产生0列（回顾下第六课时和第三课时，其中3中讲到：如果存在非0向量X，使的AX=0，即X对A的列向量的线性组合可以得到0向量（有一列在线性组合中不起作用），那么A是不可逆的。）。Ax=b的全部解：0个或一个解，如果有解，即是唯一解特解Xp
以上例子
A通过消元变成行最简阶梯式，很容易看出来A的两列线性无关，所以R中两个主元。同时我也一眼能看出来有两个行是多余的，肯定R下面会有两个0行，因为行向量是2维的，因为前两行是线性无关的，2维平面中有两个向量线性无关，那该平面的所有向量都可以由这两个向量线性组合得到，所有会出现两个0行。
上式特解为（1,1），即A的两列的和的线性组合
2）行满秩r=m，各行线性无关
此时消元会得到每一行都有一个主元，自由变量n-r（n-m）个，此时对任意的b，Ax=b都有解。
3）r=m=n，满秩方阵，行，列线性无关
零空间只包含0向量，此时对于任意的b，Ax=b都有解。由r=n知道有唯一解。
总结：矩阵A为m×n的矩阵，Ax=b的解的情况
r=m=n R=I 有唯一解 b是A列向量的线性组合
r=n<m 有0解（无解）或唯一解 b如果恰好是A的列的线性组合则有唯一解
r=m<n 有无穷个解 特解+零空间
r<m,r<n 有0解或无穷解 如果b的行和A的行向量之间有相同的组合关系，那有无穷解，否则有0解