牛客多校第六场B-Binary Vector（线性代数linear algebra）

Statement

题解

• 由于这 $n$个向量线性无关
• 所以它们张成了满秩空间( $N$维)
• 每一个向量都不属于之前的空间
• 总共 $2^N$个向量
• 当 $N=1$时，设取到向量 $~\vec{a}$
• 共有 $2$个向量与它线性相关： $~\vec{a}$和 $~\vec{0}$
• 当 $N=2$时，设取到向量 $~\vec{a}~\vec{b}$
• 共有 $4$个向量与它们线性相关： $~\vec{a}$, $~\vec{b}$, $~\vec{a}+\vec{b}$, $~\vec{0}$
• 当 $N=3$时，设取到向量 $~\vec{a}~\vec{b}~\vec{c}$
• 共有 $8$个向量与它们线性相关： $~\vec{a}$, $~\vec{b}$, $~\vec{c}$, $~\vec{a}+\vec{b}$, $~\vec{b}+\vec{c}$, $~\vec{a}+\vec{c}$, $~\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$, $~\vec{0}$
• $...$
• 以此类推，当 $N=i$时，有 $2^i$个向量线性相关
• 就有 $2^N-2^i$个向量线性无关
• $P(linear~independent)=\cfrac{2^n-2^i}{2^n}$

$f(n)=\mathop{\prod}\limits_{i=1}^n\cfrac{2^n-2^i}{2^n}$

$\,\qquad=\mathop{\prod}\limits_{i=1}^n\cfrac{2^{n-i}-1}{2^{n-i}}$

$\,\qquad=\mathop{\prod}\limits_{i=1}^n\cfrac{2^i-1}{2^i}$

• 然后就可以递推了

代码

#include <cstdio>
const int N=2e7,mod=1e9+7;
int T,n,mul[N],inv[N],ans[N];
int ksm(int a,int b){
	int r=1;
	while(b){if(b&1)r=1ll*r*a%mod;a=1ll*a*a%mod,b>>=1;}
	return r;
}int main(){
	mul[0]=1;
	for(int i=1;i<=N;i++) mul[i]=2ll*mul[i-1]%mod;
	inv[N]=ksm(mul[N],mod-2);
	for(int i=N-1;i;i--) inv[i]=2ll*inv[i+1]%mod;
	int x=inv[1];ans[1]=inv[1];
	for(int i=2;i<=N;i++) 
		x=1ll*x*(mul[i]-1)%mod*inv[i]%mod,ans[i]=ans[i-1]^x;
	scanf("%d",&T);
	while(T--) scanf("%d",&n),printf("%d\n",ans[n]);
}