2019CSUST个人选拔-我爱吃烧烤（状压DP）

题目链接：http://acm.csust.edu.cn/problem/2007
CSDN食用链接：https://blog.csdn.net/qq_43906000/article/details/107654460
Description

烧烤真的很好吃唉！集训队的团建除了佰烧，下馆子就是烧烤啦！

这天集训队一群毒瘤想出去吃烧烤，这里一共有\(n\)个烧烤店，编号\(1,2,...,n\)，这\(n\)个烧烤店中有\(m\)个特殊的烧烤店，初始时大家在1号烧烤店，他们想尝试其中至少\(k\)个不同的特殊的烧烤店。从任意两个烧烤店\(x,y\)走过去消耗的体力值都为\(1\)，注意你在当前的烧烤店停留一次也会消耗\(1\)点体力值。\(mp[i][j]\)表示从烧烤店\(i\)到\(j\)的方案数。问他们恰好消耗\(Q\)点体力值且能品尝到至少\(k\)个不同的特殊烧烤店的方案数。数据保证11号烧烤店不是特殊的烧烤店。答案可能很大，输出模\(20190802\)后的值。

Input
第一行五个整数，分别表示\(n,m,k,Q\)。

接下来一行\(m\)个整数\(a_i\)表示特殊烧烤店的编号。

接下来一个\(n\)行\(n\)列的矩阵\(mp\)，意义如题。

\(1\leq n,Q\leq 50,0\leq m,k\leq 10,0\leq mp[i][j]\leq1000\)

Output
输出一行一个整数表示答案。

Sample Input 1
5 1 1 4
5
2 1 0 0 0
3 1 1 0 0
4 1 0 1 0
5 1 0 0 1
6 1 0 0 0

Sample Output 1
1

Sample Input 2
1 0 0 10
26

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Sample Output 2
14277670

Sample Input 3
11 2 2 10
6 11
1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
3 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0
4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
5 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
6 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
7 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
8 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0
9 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0
10 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1
11 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Sample Output 3
2

Hint

对于样例1：你只有一种走法能在规定体力消耗内吃到至少一个特殊烧烤店：1->2->3->4->5，方案数为\(1 * 1 * 1 * 1=1\)

对于样例2：要求吃到至少0个特殊烧烤店，也就是说你可以一个特殊烧烤店都不去，方案数为26^10 mod 20190802 =14277670

emmm，这道题挺好想的QAQ，至少现在看来是这样的。

看题目的数据范围，我们很容易知道用状压DP来解决，我们状压m个特殊的店于是就有了\(dp[1<<11]\)，考虑到要恰好消耗\(Q\)点体力，所以我们要再加上一维，就变成了了\(dp[1<<11][55]\)，但还有问题没有解决，也就是最后停留的点可能是\(1-n\)中的任意一点，所以我们还要再加上一维停留点：\(dp[1<<11][55][55]\)。计算一下空间，发现差不多了，应该不用再加了

接下来就是状态转移了，其中上面所说的三维肯定要枚举的，我们直接枚举上一个状态，然后再枚举上一个状态的最终停留点，再枚举上一个点所消耗的体力，那么要做状态转移的话肯定还要加上现在要去的点，于是就有了以下代码段：

dp[0][0][1]=1;
for (int i=0; i<(1<<m); i++) {
	for (int last=1; last<=n; last++) {
		if (vis[last] && !judge(i,1<<(vis[last]-1))) continue;
		//vis记录的是特殊点的编号，如果上一个点是特殊点，那么一定不会和上一个特殊点状态集矛盾
		for (int pw=0; pw<q; pw++) {
			if (!dp[i][pw][last]) continue;//小优化
			for (int now=1; now<=n; now++) {
				if (!mp[last][now]) continue;//小优化
				/*DP*/
			}
		}
	}
}

然后计算一波时间复杂度。。。\(O(2000*50*50*50)\)，emmm，让我冷静一波，感觉似乎不能优化了啊，想法也应该没什么毛病，没办法了，只能硬着头皮刚一波再说了，说不定数据跑不满（水）呢，于是就有了以上的小优化。

接下来我们考虑转移，对于转移，应该有两种方式，第一个是现在要去的点为特殊点的时候，另一个就是非特殊点的时候，那么就有了一下转移方程：

if (vis[now]) {
	int sta=i|(1<<(vis[now]-1));
	dp[sta][pw+1][now]=(dp[sta][pw+1][now]+dp[i][pw][last]*mp[last][now])%mod;
} 
else dp[i][pw+1][now]=(dp[i][pw+1][now]+dp[i][pw][last]*mp[last][now])%mod;

最后枚举一下最终状态和落脚点就行了。。。然后你就会发现。。你似乎过不了样例？？？？

感觉天衣无缝啊，冷静分析一波。似乎体力的枚举不应该在里面，每次枚举消耗一个体力的时候应该跑完整个图的，那么也就是说体力的枚举应该放在最外面，然后\(try\)一波。。。。AC！妈妈，我终于会DP了QAQ

以下是AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int mod=20190802;

ll dp[1<<11][55][55];//状态为sta,消耗q点体力,当前点为x号点的方案数
int b[100],mp[55][55],ok[1<<11];
int vis[55];

int digt(int x)
{
	int ans=0;
	while (x){
		if (x&1) ans++;
		x>>=1; 
	}
	return ans;
}

void pre_oksta(int m,int k)
{
	for (int i=0; i<(1<<m); i++){
		int nb=digt(i);
		if (nb>=k) ok[i]=1;
	}
}

int judge(int x,int y)
{
	for (int i=0; i<=10; i++)
		if (!(x&(1<<i)) && (y&(1<<i))) return 0;
	return 1;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
	int n,m,k,q;
	scanf ("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&q);
	for (int i=1; i<=m; i++) scanf ("%d",&b[i]),vis[b[i]]=i;
	for (int i=1; i<=n; i++)
		for (int j=1; j<=n; j++)
			scanf ("%d",&mp[i][j]);
	pre_oksta(m,k);
	dp[0][0][1]=1;
	for (int pw=0; pw<q; pw++){//枚举体力
		for (int i=0; i<(1<<m); i++){//枚举上一个状态
			for (int last=1; last<=n; last++){//枚举上一个落脚点
				if (vis[last] && !judge(i,1<<(vis[last]-1))) continue;
				if (!dp[i][pw][last]) continue;
				for (int now=1; now<=n; now++){//枚举现在要去的
					if (!mp[last][now]) continue;
					if (vis[now]){
						int sta=i|(1<<(vis[now]-1));
						dp[sta][pw+1][now]=(dp[sta][pw+1][now]+dp[i][pw][last]*mp[last][now])%mod;
					} 
					else dp[i][pw+1][now]=(dp[i][pw+1][now]+dp[i][pw][last]*mp[last][now])%mod;
				}
			}
		}
	}
	ll ans=0;
	for (int i=0; i<(1<<(m+1)); i++){
		if (!ok[i]) continue;
		for (int j=1; j<=n; j++)
			ans=(ans+dp[i][q][j])%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

2019CSUST个人选拔-我爱吃烧烤（状压DP）

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