JZOJ 1281.旅行

题目大意

一个数列a[ $i$]，可以无代价交换前后两个数，且交换的两个数值需位于之前两个数值之后，即如果某次交换了a[ $j$]和a[ $j+1$]，那么下次交换a[ $k$]和a[ $k+1$]必须满足 $j＜k$，问
$\sum_{i=2}^n |a[i]-a[i-1]|\qquad$

思路

很直接的想法是枚举每个二进制状态，并比较得出最小值，期望得分20分。
但是我们可以从数据范围看出这是一个二维dp （不要问我是怎么看出来的） 。考场尚未推出状态转移方程，考后参考别人的程序才想出，这其实是一道dp好题。
定义f[ $i$][0]为第 $i$个值不与后面的交换消耗的最小体力，f[ $i$][1]为第 $i$个值与后面交换消耗的最小的最小体力，sum[ $i$]为未交换时消耗的体力。
状态转移方程：
1.当第 $i$个值不与后面的值交换时，此时消耗的最小体力就是 $min$
(第 $i+1$个值不与后面交换时的最小体力加上第 $i$个值与 $i+1$个值的差值的绝对值，
第 $i+1$个值与后面交换时的最小体力加上第 $i$个值与 $i+2$个值的差值的绝对值)。
code:

f[i][0]=min(f[i+1][0]+abs(a[i+1]-a[i]),f[i+1][1]+abs(a[i+2]-a[i]));

2.当第 $i$个值与后面的值交换时，此时消耗的最小体力就与第 $i$个值具体被换到哪里有关。设第 $j$个值与第 $i$个值交换，此处较难理解，用图片具体说明：
i与j交换前：

i与j交换后：

这里简单地用 $i$表示a[ $i$]的值（其他依次类推）。设第 $i$个位置的值与第 $i$个位置的值交换，交换后消耗的最小体力其实就是a[ $j$]与a[ $i$]的差值的绝对值加上第 $i+1$个位置和第 $j$个位置中间的差值再加上一个类似于f[ $j$][0]的式子，只是这里因为原来a[ $j$]的位置现在是a[ $i$],所以将f[ $j$][0]式子中的 $j$换成 $i$。特别的，与第 $n$个值交换，因为f[ $n$][0]和f[ $n$][1]都是0，所以f[ $i$][0]可直接由a[ $n$]与a[ $i$]的差值的绝对值加上第 $i+1$个位置和第 $n$个位置中间的差值得到。
code:

for(ll j=i+1;j<=n-1;j++)
	f[i][1]=min(f[i][1],min(f[j+1][0]+abs(a[i]-a[j+1]),f[j+1][1]+abs(a[i]-a[j+2]))+sum[j]-sum[i+1]+abs(a[i]-a[j]));
f[i][1]=min(f[i][1],sum[n]-sum[i+1]+abs(a[n]-a[i]));

完整code:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define R register
using namespace std;
inline ll read(){
	ll f=0,pa=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')pa=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){f=(f<<3)+(f<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return f*pa;
}
inline void write(ll x){
	if(x<0)x=-x,putchar('-');
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
ll n,a[2005],sum[2005],f[2005][2],cha;
inline ll abss(ll a){return a>=0?a:-a;}
inline ll minn(ll a,ll b){return a>b?b:a;}
int main(){
	n=read();
	for(R ll i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();f[i][1]=f[i][0]=0x7fffffff;
		sum[i]=sum[i-1]+abss(a[i]-a[i-1]);
	}
	f[n][0]=f[n][1]=0;a[n+1]=a[n];
	for(R ll i=n-1;i>=1;i--){
		f[i][0]=minn(f[i+1][0]+abss(a[i+1]-a[i]),f[i+1][1]+abs(a[i+2]-a[i]));
		for(R ll j=i+1;j<=n-1;j++)
			f[i][1]=minn(f[i][1],minn(f[j+1][0]+abss(a[i]-a[j+1]),f[j+1][1]+abss(a[i]-a[j+2]))+sum[j]-sum[i+1]+abss(a[i]-a[j]));
		f[i][1]=minn(f[i][1],sum[n]-sum[i+1]+abss(a[n]-a[i]));
	}
	write(minn(f[1][0],f[1][1]));
	return 0;
}

p.s. 听说自己手写函数会比调用自带的函数跑得快，建议各位自己手写函数（虽然这题没必要）。