「赛前备战」NOIp2020-提高 动态规划训练

博主太菜，可能会炸联赛，于是恶补一下 QAQ

动态更新

「eJOI2017」Experience

update - 2020.7.27

树形 dp

设 \(f(x, 0), f(x, 1)\) 分别表示以 \(x\) 为根的子树，\(x\) 所在链为向下（非严格）递减、递增时的答案。

题目中要求求极差，那么结点 \(x\) 可能为最大值或最小值。

以向下递减为例，我们在所以满足 \(W_x \ge W_y\) 的所有子结点 \(y\) 中，将原本 \(y\) 的贡献用 \(x\) 作为新的最大值替换，并更新 \(f(x, 0)\) 的答案。向下递增也是同理，不过这里是作为最小值，因此符号会改变。

在做结点 \(x\) 是，我们设 \(p = \sum\limits_{y \in \text{son}(x)} \max(f(y, 0), f(y, 1))\)，并令 \(p\) 为 \(f(x, 0), f(x, 1)\) 的初始值。

那么状态转移方程（\(\leftarrow\) 表示最（大）值操作）：

\[f(x, 0) \leftarrow \max\limits_{y\in \text{son}(x), W_x \ge W_y}\{p - \max(f(y, 0), f(y, 1)) + W_x - W_y\}\\ f(x, 1) \leftarrow \max\limits_{y\in \text{son}(x), W_x \le W_y}\{p - \max(f(y, 0), f(y, 1)) - W_x + W_y\} \]

时间复杂度 \(O(n)\)。

「eJOI2018」山

update - 2020.7.27

设 \(f(n, k, 0), f(n, k, 1), f(n, k, 2)\) 表示 \([1, n]\) 中，建造了 \(k\) 座房子，且第 \(n-1\)，第 \(n\) 个位置的状态分别为 \((0,0),(1, 0), (0, 1)\) 时（\(0\) 表示没有房子，\(1\) 表示有）的最小花费时间。

状态转移方程：

\[f(n, k, 0) = \min\{f(n-1, k, 0), f(n-1, k, 1)\} \\ f(n, k, 1) = f(n-1, k, 2) + \text{get}(a_n - a_{n - 1} + 1)\\ f(n, k, 2) = \min\{f(n-1, k-1, 0) + \text{get}(a_{n-1} - a_n + 1), f(n-1, k-1,1)+\text{get}(\min(a_{n-2}-1, a_{n-1})-a_{i}+1)\}\\ \text{其中 } \text{get}(x)=\max(x, 0) \]

时间复杂度 \(O(n^2)\)。

「CSP2019-J」纪念品

update - 2020.7.27

背包 dp

直接存物品的个数显然原地升天。但仔细想一下发现，转换成统一在第 \(i\) 天买，然后在第 \(i+1\) 天卖，其实等价。因为即使对某种物品实际上并不操作，换成全卖了然后买回来也未尝不可。

不难设计出一个比较暴力的状态：\(f(i, j, k)\) 表示第 \(i\) 天，对于前 \(j\) 个物品，剩余现金为 \(k\) 时，下一天手头上的最大现金数。转移方程显然。

为了不空间爆炸，我们尝试优化。第一维显然可以缩掉——我们只要上一轮的最优值即可。剩下了两维看着像一个背包，于是倒序以下就只剩最后一维了。方程：

\[f(k) \leftarrow \max(f(k), f(k - P_{i, k})+P_{i, k+1}-P_{i, k}) \]

时间复杂度 \(O(TN\times \max P)\)。