如何理解ORB-SLAM g2o优化中的卡方分布

协方差矩阵

为了后续能更好的说明多维向量的卡方分布，有必要先简单介绍下协方差矩阵。

方差和协方差的定义

在统计学中，方差是用来度量单个随机变量的离散程度，而协方差则一般用来刻画两个随机变量的相似程度，其中，方差的计算公式为
$\sigma_{x}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$
在此基础上，协方差的计算公式被定义为
$\sigma(x, y)=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)$
在公式中，符号 $\bar{x}$, $\bar{y}$分别表示两个随机变量所对应的观测样本均值，据此，我们发现：方差 $\sigma_{x}^{2}$ 可视作随机变量 $x$ 关于其自身的协方差 $\sigma(x, x)$ .

对于 $d$维向量，为了表明向量任意两个维度之间的相似程度（协方差），我们定义协方差矩阵
$\Sigma=\left[\begin{array}{ccc} \sigma\left(x_{1}, x_{1}\right) & \cdots & \sigma\left(x_{1}, x_{d}\right) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma\left(x_{d}, x_{1}\right) & \cdots & \sigma\left(x_{d}, x_{d}\right) \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{d \times d}$

特别地，若协方差矩阵为对角阵，则说明任意两个维度的变量相互独立。

卡方分布

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，…,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）

ORB-SLAM中的卡方分布

误差

就特征点法的视觉SLAM而言，一般会计算重投影误差。具体而言，记 $u$ 为特征点的2D位置， $\bar{u}$ 为由地图点投影到图像上的2D位置。重投影误差为
$\mathbf{e}=\mathbf{u}-\overline{\mathbf{u}}$
重投影误差服从高斯分布
$\mathbf{e} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma})$
其中，协方差 $\mathbf{\Sigma}$一般根据特征点提取的金字塔层级确定。具体的，记提取ORB特征时，图像金字塔的每层缩小尺度为 $s$ (ORB-SLAM中为1.2)。在ORB-SLAM中假设第0层的标准差为 $p$ 个pixel (ORB-SLAM中设为了1个pixel)；那么，一个在金字塔第 $n$层提取的特征的重投影误差的协方差为
$\boldsymbol{\Sigma}=\left(s^{n} \times p\right)^{2}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$
误差向量 $e$的第一维表示投影在 $x$轴方向的误差，第一维表示投影在 $y$轴方向的误差, 根据协方差矩阵可以看出，我们认为在 $x$轴和 $y$方向上的误差是独立的，且服从均值为0，方差为对角线元素的高斯分布。此方差与特征点所在金字塔层数有关，层数越高，方差越大。因为层数越高，则产生一个像素误差所造成的不确定性越大。所以
$\mathbf{e} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma})$
参照视觉SLAM十四讲P124-P124，对于一个正态分布的向量，我们要最小化马氏距离，故误差项定为
$r=\mathbf{e}^{T} \mathbf{\Sigma}^{-1} \mathbf{e}$
利用协方差加权，起到了归一化的作用。上式，可以变为
$r=\left(\boldsymbol{\Sigma}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{e}\right)^{T}\left(\boldsymbol{\Sigma}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{e}\right)$
而
$\left(\boldsymbol{\Sigma}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{e}\right) \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{I})$
为多维标准正太分布。也就是说不同金字塔层提取的特征，计算的重投影误差都被归一化了，或者说去量纲化了，白化了。。。那么，我们只用一个阈值就可以了。
若把 $r$写为标量形式，则为两个误差随机变量的平方和，且这两个误差随机变量都服从标准正太分布。故 $r$服从卡方分布

阈值

误差的问题已经解决了，下面的问题是如何选择阈值。 $r$ 可以看做两个独立的服从标准正太分布随机变量的平方和，它服从2个自由度的Chi-squared distribution卡方分布。
记概率分布（累积分布函数）为 $\alpha=F(x)$ 。给定一个 $\alpha$可以确定一个区间 $\left[0, F^{-1}(\alpha)\right]$ 。可以认为， $r$ 落在这个区间内，则为内点，落在这个区间外则为外点。 $F^{-1}(\alpha)$ 就是我们要找的阈值 $x$ 。
$\left\{\begin{array}{l} \text { 内点 } r<x \\ \text { 外点 } r \geqslant x \end{array}, x=F^{-1}(\alpha)\right.$
一般取 $\alpha$为95%，一个内点只有5%的可能被错误的认为是外点。关于 $F^{-1}(\alpha)$ ，前人已经搞了一个表。根据卡方分布表ORB-SLAM2取 $\alpha=95$，对应的单目投影为2自由度，因此阈值为5.99；对应的双目投影为3个自由度，因此阈值为7.81。

参考：

1. https://zhuanlan.zhihu.com/p/58556978
2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/37609917