将字符串分割为回文子串

题目描述

给定一个字符串 s，将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文串。

返回 s 所有可能的分割方案。

示例:

输入: "aab"
输出:
[
  ["aa","b"],
  ["a","a","b"]
]

  题目要找到所有的回文子串组合方式，看到这个问题很容易就想到了暴力的处理方式，就是从每一个回文子串处深度遍历。因为深度遍历可以保证不重不漏。再说的具体一些，遍历的时候就是判断字符串的第i个字符到第j个字符是否是回文串，如果是，此时会产生分支，可以逐一字符的往前走，也可以把i到j的字符串当成一个整体往下走，这个过程很好写代码。
  而且python很方便判断字符串i到j是否是回文串，只需要s[i:j+1] == s[i:j+1][::-1]即可，如果其他语言没有这个特性，可以参考之前我上一篇文章，动态规划求解最长回文串中的回文串判断方式。深度优先遍历代码如下。

DFS解法代码

 def partition_dfs(s: str) -> List[List[str]]:
     res = []

     def dfs(start, tmp):
         if start == len(s):
             res.append(tmp)
         for i in range(start+1, len(s) + 1):
             if s[start:i] == s[start:i][::-1]:  # 如果start 到 i 是回文串，则进行深度遍历
                 dfs(i, tmp + [s[start:i]])
     dfs(0, [])
     return res

  递归的代码总是写起来很简洁，但是容易出现重复计算，我们思考如何把重复计算的开销给省下来，这必然要涉及到空间换时间。
  联想到回文子串的处理方式，使用动态规划比较容易的找到字符串的所有回文子串，一种直接的思路就是先把所有的回文子串求出来，使得可以在 $O(1)$的时间判断字符串s[i:j]是否是回文子串，然后根据这个判断结果去回溯，减少不必要的重复。这个代码只需要在上述过程加一个求是否是回文子串即可。求法同样可以参考上篇文章，动态规划求解最长回文串中的回文串判断方式。
  但是我们这里思考直接的自底向上的动态规划方式。可以直接思考后一状态和前一状态的关系，字符串s[:j]的所有分割方式就等于s[:i]的分割方式和s[i:j]的所有分割方式的全排列。如果s[i:j]中没有回文串，那么分割方式很单一，反之，才会对s[:j]的状态产生影响。
  使用 $dp_i$来表示到第i个字符为止，可以产生的所有分割， $dp_j=dp_i * s[i:j]\quad if\ s[i:j]是回文串$。这里的 $*$表示笛卡尔积，为了保持第一个字符的处理和后面的字符处理一致，可以在让 $dp_-1$等于一个列表，这样方便和后面的作加法。

动态规划代码

    def partition(s: str) -> List[List[str]]:
        dp = [[] for _ in range(len(s) + 1)]
        dp[-1] = [[]]
        for end in range(1,len(s)+1):
            for start in range(end):
                if s[start:end] == s[start:end][::-1]:
                    for each in dp[start-1]: # 这里就是做笛卡尔积的过程
                        dp[end-1].append(each+[s[start:end]])
        return dp[len(s)-1]

  这里需要注意的就是，如果使用动态规划，在处理字符串的时候，会导致下标因为平移的问题，下标处理起来不是很容易，推荐在写代码的时候从后往前计算，因为动态规划从两端哪一端开始，在这里是不影响结果的（大部分不影响）。
  完成了这个问题，其他类似的问题也就很好处理了。

题目描述

给定一个字符串 s，将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文串。

返回符合要求的最少分割次数。

示例:
输入: “aab”
输出: 1
解释: 进行一次分割就可将 s 分割成 [“aa”,“b”] 这样两个回文子串。

  表明上看这道题比上面的更简单，但是从思维方式上来看，上一道题更加符合思维方式一些，而这个问题要求的复杂度优化也就更高，上面的题目，可以让大家从暴力搜索到动态规划，这道题就很难直接想到动态规划了。但是有上面的题做基础，就比较容易。在这里就不扩展其他方法，直接基于已做的题目进行改代码。
  首先，我们已经能够在 $O(n^2)$的时间复杂度求出所有的回文串的起始位置和终止位置。同样回到上个问题，如果s[i:j]是一个回文串，那么显然 $dp_j$的最小分割次数，就等于 $dp_j=min(dp_i + 1)\quad if \ s[i:j]是回文串$。到这里代码就很好写了。可以采取一种思路就是先求出所有的回文串，然后使用递推式来求结果。
  这里介绍一种很取巧的方式，直接记录所有的回文串的起始和终止位置，然后对所有的位置使用递推式进行更改，这里要注意的就是更改的顺序需要按照结束的位置排序之后的顺序，否则 $dp_i$所求的还不是最终结果，这里就已经使用 $dp_i$计算 $dp_j$，就会产生错误。
  当然也可以在求是否是回文串的同时，直接求算出 $dp_j$。代码如下。

求解代码

def minCut(s: str) -> int:
    # 直接求以第j个字符结尾的字符串，并计算dp
    length = len(s)
    dp = list(range(-1,len(s)))
    pre = [True] + [False]*(length-1)
    for end in range(1,length):
        keys = [False if i!=end else True for i in range(length) ]
        # 记录当前以end结尾的，以i起始的位置是否是回文串
        dp[end+1] = dp[end] +1
        for beg in range(end):
            if s[beg] == s[end] and  (pre[beg+1] or beg+1==end):# 判断是否是回文串
                dp[end+1] = min(dp[beg]+1,dp[end+1])
                keys[beg] = True
        pre = keys # 保存以end-1为止第i个位置起始的字符串是否是回文串

    return dp[-1]

  动态规划问题重要的是培养动态规划的思维方式，如何定义问题，进而化简问题，动态规划的问题都是有特征的，对动态规划的直觉是可以培养的。
  如果真的没有直觉，建议多花点时间。可以从我这篇文章中学习，对一个问题就按部就班的从暴力，到递归再到动态规划，这也是一个重要的思维途径。