一、深度学习和PyTorch基础

视频学习

人工智能：

1956年“达特茅斯”会议上人工智能概念诞生

使一部机器像人一样进行感知、认知、决策、执行的人工程序或系统

机器学习：

定义：从数据中自动提取知识

用途：

计算机视觉：人脸识别、图像分类、目标检测、图像搜索、图像分割和视频监控
语音：语音唤醒、语音识别、语音合成和声纹识别
自然语言处理：文本分类、机器翻译、知识图谱、自动回答、信息检索和文本生成

三要素：

模型：对要学习问题映射的假设（问题建模，确定假设空间）
- 数据标记
  - 监督学习：样本具有标记
  - 无监督学习：样本没有标记
  - 半监督学习：部分样本有标记
  - 强化学习：样本标记未知，但知道与输出目标相关的反馈
- 数据分布
  - 参数模型：对数据分布进行假设，待求解的数据模式可以用一组有限且固定的参数进行刻画，比如：线性回归、逻辑回归、感知机、K均值聚类
  - 非参数模型：不对数据分布进行假设，数据的所有统计特性来源于数据本身
- 建模对象
  - 判别模型：先从数据中学习联合概率分布P（x，y），然后利用朴素贝叶斯公式求出P（Y|X），比如：朴素贝叶斯、隐马尔可夫、马尔科夫随机场
  - 生成模型：输入特征x，直接预测出最可能的Y，比如：SVM、逻辑回归、条件随机场、决策树
策略：从假设空间中学习/选择最优模型的准则（确定目标函数）
算法：根据目标函数求解最优模型的具体计算方法（求解模型参数）

机器学习主要解决对一个问题建模去确定假设空间，在假设空间里基于一个训练数据建立一个目标函数

深度学习

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发展历程：

感知器出现，认为感知器无所不能，但是实际上无法解决异或门问题；
BP算法：Rumelhart和Hinton合作在Nature杂志上发表论文，第一次简洁地阐述了
BP算法，在神经网络里增加一个所谓的隐层，解决了XOR难题；
CNN网络：Yann Lecun在1989年发表了论文，之后又进一步运用了一种叫做卷积神经网络的技术，最开始是运用于银行对数字的识别；
Vladmir Vapnik提出了SVM，把神经网络推向寒冬；
Hinton拿到资金后，将神经网络更名为深度学习；
吴恩达2009年发表了论文，解决了速度问题，使用GPU运行速度和用传统双核CPU相比，最快时要快近70倍；
李菲菲建立第一个超大型图像数据库供计算机视觉研究者使用；
Hinton和两个研究生利用CNN+Dropout+Relu激励函数将ILSVRC的错误率降到了15.3%，是人工智能技术突破的一个转折点；
Yoshua Bengio在2011年发表论文，提出了一种修正的relu激励函数，解决了传统激励函数在反向传播计算中的梯度消失问题；
Schmidhuber和他的学生提出来长短期记忆的计算模型。

神经网络的三起三落：

深度学习使用两个优化器：Adam和SGD，一般来说，使用Adam就可以，效果会比较好

深度学习的6个不能：

算法输出不稳定，容易被攻击
模型复杂度高，难以纠错和调试（无论给什么无意义的都倾向给一个有意义的输出）
模型层次符合度高，参数不透明
端到端训练方式对数据依赖性强，模型增量性差
专注直观感知类问题，对开放性推理问题无能为力
人类指示无法有效引入进行监督，机器偏见难以避免

M-P神经元：

在神经元总数相等的情况下，增加网络深度可以比增加宽度带来更强的网络表示能力：产生更多的线性区域

激活函数：

什么情况下使用sigmoid函数：无论输入什么永远在0-1之间，可以用于二分类，可以用预算值控制准确率，多分类用softmart

梯度：

梯度下降：

梯度消失：

对于激活函数，之前一直使用Sigmoid函数，其函数图像成一个S型，它会将正无穷到负无穷的数映射到0_{1之间。当我们对Sigmoid函数求导时,会呈现一个驼峰状（很像高斯函数），从求导结果可以看出，Sigmoid导数的取值范围在0}0.25之间，而我们初始化的网络权值通常都小于1，因此，当层数增多时，小于0的值不断相乘，最后就导致梯度消失的情况出现。

梯度消失解决办法：

用无监督数据作分层与训练，再用有监督数据fine-tune
使用Relu激活函数
使用辅助损失函数
逐层的尺度归一

自编码器：

假设输出与输入相同，是一种尽可能复现输入信号的神经网络，没有额外的监督信息，其中间隐层是代表输入的特征，可以最大程度上代表原输入信号，可以用来图像去噪

受限玻尔兹曼机：

RBM是两层神经网络，包括可见层和隐藏层，隐藏层可以作为可见层输入的特征

图像处理基本练习

1.下载并显示图像

!wget https://raw.githubusercontent.com/summitgao/ImageGallery/master/yeast_colony_array.jpg

import matplotlib
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

import skimage
from skimage import data
from skimage import io

colony = io.imread('yeast_colony_array.jpg')
print(type(colony))
print(colony.shape)

<class 'numpy.ndarray'>
(406, 604, 3)

# 绘制真实图像的所有通道
plt.subplot(121)
plt.imshow(colony[:,:,:])
plt.title('3-channel image')
plt.axis('off')

# 仅绘制一个通道
plt.subplot(122)
plt.imshow(colony[:,:,0])
plt.title('1-channel image')
plt.axis('off');

2.读取并改变图像像素值

# 获取第10行第20列的像素值
camera = data.camera()
print(camera[10, 20])

# 把这个地方设为黑色
camera[30:100, 10:100] = 0
plt.imshow(camera, 'gray')

153
<matplotlib.image.AxesImage at 0x7fe7d71f0048>

# 把第一行设为黑色
camera = data.camera()
camera[:10] = 0
plt.imshow(camera, 'gray')

<matplotlib.image.AxesImage at 0x7fe7d715f358>

# 把mask为true的地方设为白色像素
camera = data.camera()
mask = camera < 80
camera[mask] = 255
plt.imshow(camera, 'gray')

<matplotlib.image.AxesImage at 0x7fe7d714ba90>

# 改变真实图像的颜色
cat = data.chelsea()
plt.imshow(cat)

<matplotlib.image.AxesImage at 0x7fe7d71944e0>

# 把较亮的像素设为红色
red_cat = cat.copy()
reddish = cat[:, :, 0] > 160
red_cat[reddish] = [255, 0, 0]
plt.imshow(red_cat)

<matplotlib.image.AxesImage at 0x7fd4fc7cd320>

# 将openCV的RGB颜色改为BGR
BGR_cat = cat[:, :, ::-1]
plt.imshow(BGR_cat)

<matplotlib.image.AxesImage at 0x7fe7d70c5160>

3.转换图像数据类型

from skimage import img_as_float, img_as_ubyte
float_cat = img_as_float(cat)
uint_cat = img_as_ubyte(float_cat)

img_as_float Convert to 64-bit floating point.
img_as_ubyte Convert to 8-bit uint.
img_as_uint Convert to 16-bit uint.
img_as_int Convert to 16-bit int

4.显示图像直方图

img = data.camera()
plt.hist(img.ravel(), bins=256, histtype='step', color='black');

5.图像分割

# 用colony image进行图像分割
colony = io.imread('yeast_colony_array.jpg')

# 绘制直方图
img = skimage.color.rgb2gray(colony)
plt.hist(img.ravel(), bins=256, histtype='step', color='black');

# 阙值化
plt.imshow(img>0.5)

<matplotlib.image.AxesImage at 0x7fe7d6f48c50>

6.使用Canny算子进行边缘检测

from skimage.feature import canny
from scipy import ndimage as ndi
img_edges = canny(img)
img_filled = ndi.binary_fill_holes(img_edges)

# Plot
plt.figure(figsize=(18, 12))
plt.subplot(121)
plt.imshow(img_edges, 'gray')
plt.subplot(122)
plt.imshow(img_filled, 'gray')

<matplotlib.image.AxesImage at 0x7fe7c8cdc9b0>

7.改变图像的对比度

# 例图
img = data.camera()
plt.imshow(img, 'gray')

<matplotlib.image.AxesImage at 0x7fe7c8bb3080>

from skimage import exposure
# 拉伸对比
p2, p98 = np.percentile(img, (2, 98))
img_rescale = exposure.rescale_intensity(img, in_range=(p2, p98))
plt.imshow(img_rescale, 'gray')

<matplotlib.image.AxesImage at 0x7fe7c8a9c400>

# 均衡化
img_eq = exposure.equalize_hist(img)
plt.imshow(img_eq, 'gray')

<matplotlib.image.AxesImage at 0x7fe7c8a717f0>

# 自适应均衡
img_adapteq = exposure.equalize_adapthist(img, clip_limit=0.03)
plt.imshow(img_adapteq, 'gray')

<matplotlib.image.AxesImage at 0x7fe7c89d0978>

# 结果展示
def plot_img_and_hist(img, axes, bins=256):
    """Plot an image along with its histogram and cumulative histogram.

    """
    img = img_as_float(img)
    ax_img, ax_hist = axes
    ax_cdf = ax_hist.twinx()

    # 图片展示
    ax_img.imshow(img, cmap=plt.cm.gray)
    ax_img.set_axis_off()
    ax_img.set_adjustable('box')

    # 直方图展示
    ax_hist.hist(img.ravel(), bins=bins, histtype='step', color='black')
    ax_hist.ticklabel_format(axis='y', style='scientific', scilimits=(0, 0))
    ax_hist.set_xlabel('Pixel intensity')
    ax_hist.set_xlim(0, 1)
    ax_hist.set_yticks([])

    # 分布函数展示
    img_cdf, bins = exposure.cumulative_distribution(img, bins)
    ax_cdf.plot(bins, img_cdf, 'r')
    ax_cdf.set_yticks([])

    return ax_img, ax_hist, ax_cdf

fig = plt.figure(figsize=(16, 8))
axes = np.zeros((2, 4), dtype=np.object)
axes[0, 0] = fig.add_subplot(2, 4, 1)
for i in range(1, 4):
    axes[0, i] = fig.add_subplot(2, 4, 1+i, sharex=axes[0,0], sharey=axes[0,0])
for i in range(0, 4):
    axes[1, i] = fig.add_subplot(2, 4, 5+i)

ax_img, ax_hist, ax_cdf = plot_img_and_hist(img, axes[:, 0])
ax_img.set_title('Low contrast image')

y_min, y_max = ax_hist.get_ylim()
ax_hist.set_ylabel('Number of pixels')
ax_hist.set_yticks(np.linspace(0, y_max, 5))

ax_img, ax_hist, ax_cdf = plot_img_and_hist(img_rescale, axes[:, 1])
ax_img.set_title('Contrast stretching')

ax_img, ax_hist, ax_cdf = plot_img_and_hist(img_eq, axes[:, 2])
ax_img.set_title('Histogram equalization')

ax_img, ax_hist, ax_cdf = plot_img_and_hist(img_adapteq, axes[:, 3])
ax_img.set_title('Adaptive equalization')

ax_cdf.set_ylabel('Fraction of total intensity')
ax_cdf.set_yticks(np.linspace(0, 1, 5))

fig.tight_layout()
plt.show()

Pytorch基础训练

什么是Pytorch？

Pytorch是一Python的一个库，主要提供了两个高级功能：

GPU加速的张量运算
构建在反向自动求导系统上的深度神经网络

Pytorch基础代码练习

1.定义数据

张量类 torch.Tensor 可以代表任意类型的数据

import torch

# 创建一个数
x = torch.tensor(7777777)
print(x)

tensor(7777777)

# 创建一维数组
x = torch.tensor([1,2,3,4,5,6,7])
print(x)

tensor([1, 2, 3, 4, 5, 6,7])

# 创建二维数组
x = torch.ones(2,3)
print(x)

tensor([[1., 1., 1.],
        [1., 1., 1.]])

# 创建任意维度数组
x = torch.ones(3,3,3)
print(x)

tensor([[[1., 1., 1.],
         [1., 1., 1.],
         [1., 1., 1.]],

        [[1., 1., 1.],
         [1., 1., 1.],
         [1., 1., 1.]],

        [[1., 1., 1.],
         [1., 1., 1.],
         [1., 1., 1.]]])

# 创建空张量
x = torch.empty(3,3)
print(x)

tensor([[4.1825e-38, 0.0000e+00, 1.5975e-43],
        [1.3873e-43, 1.4574e-43, 6.4460e-44],
        [1.4153e-43, 1.5274e-43, 1.5695e-43]]

# 创建一个随机初始化的张量
x = torch.rand(3,3)
print(x)

tensor([[0.7217, 0.6777, 0.7724],
        [0.9061, 0.5884, 0.7075],
        [0.5336, 0.5464, 0.5254]])

# 创建一个全0的张量，里面的数据类型为long
x = torch.zeros(3,3,dtype=torch.long)
print(x)

tensor([[0, 0, 0],
        [0, 0, 0],
        [0, 0, 0]])

# 基于现有的tensor，创建一个新tensor，使其继承原有tensor的属性
y = x.new_ones(3,3) 
print(y)

tensor([[1, 1, 1],
        [1, 1, 1],
        [1, 1, 1]])

# 利用原来的tensor的大小，但是重新定义了数据类型
z = torch.randn_like(x, dtype=torch.float)  
print(z)

tensor([[-2.2243, -1.1945,  0.2978],
        [-0.6159,  0.6593,  1.6294],
        [ 0.2331,  0.3410, -0.1972]])

2.定义操作

凡是用Tensor来进行各种运算的，都是Function

基本运算包： abs/sqrt/div/exp/fmod/pow ，一些三角函数 cos/ sin/ asin/ atan2/ cosh，及 ceil/round/floor/trunc ......

布尔运算： gt/lt/ge/le/eq/ne，topk, sort, max/min

线性计算： trace, diag, mm/bmm，t，dot/cross，inverse，svd ......

# 创建一个2x3的tensor
m = torch.tensor([[2,5,3],[4,2,1]])
print(m.size(0),m.size(1),m.size(),sep = '--')

2--3--torch.Size([2, 3])

# 返回 m 中元素的数量
print(m.numel())

# 返回 第1行，第1列的数
print(m[1][1])

tensor(2)

# 返回 第1列的全部元素 :代表所有的
print(m[:, 1])

tensor([5, 2]

# 创建数字1-4
# 注意这里结果是1到3，没有4
v = torch.arange(1, 4)
print(v)

tensor([1, 2, 3])

# 点乘
m @ v
m[[0], :] @ v

tensor([21, 11])
tensor([21])

# 加法
m + torch.rand(2, 3)

tensor([[2.8847, 5.8693, 3.5941],
        [4.3565, 2.5205, 1.0334]])

# 转置，由2x3变为3x2
print(m.t())
print(m.transpose(0, 1))

tensor([[2, 4],
        [5, 2],
        [3, 1]])
tensor([[2, 4],
        [5, 2],
        [3, 1]])

# 返回3到7之间等距的20个数
torch.linspace(3,7,20)

tensor([3.0000, 3.2105, 3.4211, 3.6316, 3.8421, 4.0526, 4.2632, 4.4737, 4.6842,
        4.8947, 5.1053, 5.3158, 5.5263, 5.7368, 5.9474, 6.1579, 6.3684, 6.5789,
        6.7895, 7.0000])

from matplotlib import pyplot as plt

# matlabplotlib 只能显示numpy类型的数据，下面展示了转换数据类型，然后显示
# 注意 randn 是生成均值为 0， 方差为 1 的随机数
# 下面是生成 1000 个随机数，并按照 100 个 bin 统计直方图
plt.hist(torch.randn(1000).numpy(), 100);

# 当数据非常非常多的时候，正态分布会体现的非常明显
plt.hist(torch.randn(10**6).numpy(), 100);

# 创建两个 1x4 的tensor
a = torch.Tensor([[1,2,3,4]])
b = torch.Tensor([[5,6,7,8]])
# 在0方向即在Y方向上拼接
print(torch.cat((a,b),0))
# 在1方向即在X方向上拼接
print(torch.cat((a,b),1))

tensor([[1., 2., 3., 4.],
        [5., 6., 7., 8.]])
tensor([[1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8.]])

螺旋数据分类

下载绘图函数到本地

!wget https://raw.githubusercontent.com/Atcold/pytorch-Deep-Learning/master/res/plot_lib.py

# 引入重要的库 初始化参数
import random
import torch
from torch import nn, optim
import math
from IPython import display
from plot_lib import plot_data, plot_model, set_default

# 因为colab是支持GPU的，torch 将在 GPU 上运行
device = torch.device("cuda:0" if torch.cuda.is_available() else "cpu")
print('device: ', device)

# 初始化随机数种子。神经网络的参数都是随机初始化的，
# 不同的初始化参数往往会导致不同的结果，当得到比较好的结果时我们通常希望这个结果是可以复现的，
# 因此，在pytorch中，通过设置随机数种子也可以达到这个目的
seed = 12345
random.seed(seed)
torch.manual_seed(seed)

N = 1000  # 每类样本的数量
D = 2  # 每个样本的特征维度
C = 3  # 样本的类别
H = 100  # 神经网络里隐层单元的数量

device:  cuda:0

初始化 X 和 Y。 X 可以理解为一个特征矩阵，Y可以理解为样本标签。可以看到，X的为一个 NxC 行， D 列的矩阵。C 类样本，每类样本是 N个，所以是 N*C 行。每个样本的特征维度是2，所以是 2列。

在 python 中，调用 zeros 类似的函数，第一个参数是 y方向的，即矩阵的行；第二个参数是 x方向的，即矩阵的列。

# 样本特征初始化
X = torch.zeros(N * C, D).to(device)
Y = torch.zeros(N * C, dtype=torch.long).to(device)
for c in range(C):
    index = 0
    t = torch.linspace(0, 1, N) # 在[0，1]间均匀的取10000个数，赋给t
    # 下面的代码不用理解太多，总之是根据公式计算出三类样本（可以构成螺旋形）
    # torch.randn(N) 是得到 N 个均值为0，方差为 1 的一组随机数，注意要和 rand 区分开
    inner_var = torch.linspace( (2*math.pi/C)*c, (2*math.pi/C)*(2+c), N) + torch.randn(N) * 0.2
    
    # 每个样本的(x,y)坐标都保存在 X 里
    # Y 里存储的是样本的类别，分别为 [0, 1, 2]
    for ix in range(N * c, N * (c + 1)):
        X[ix] = t[index] * torch.FloatTensor((math.sin(inner_var[index]), math.cos(inner_var[index])))
        Y[ix] = c
        index += 1

print("Shapes:")
print("X:", X.size())
print("Y:", Y.size())

Shapes:
X: torch.Size([3000, 2])
y: torch.Size([3000])

plot_data(X, Y)

构建线性模型分类

# 设置学习率和初始权值
learning_rate = 1e-3
lambda_l2 = 1e-5

# nn 包用来创建线性模型
# 每一个线性模型都包含 weight 和 bias
model = nn.Sequential(
    nn.Linear(D, H),
    nn.Linear(H, C)
)
model.to(device) # 把模型放到GPU上

# nn 包含多种不同的损失函数，这里使用的是交叉熵（cross entropy loss）损失函数
criterion = torch.nn.CrossEntropyLoss()

# 这里使用 optim 包进行随机梯度下降(stochastic gradient descent)优化
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=learning_rate, weight_decay=lambda_l2)

# 开始训练
for t in range(1000):
    # 把数据输入模型，得到预测结果
    y_pred = model(X)
    # 计算损失和准确率
    loss = criterion(y_pred, Y) # 模型的预测结果
    score, predicted = torch.max(y_pred, 1) # 沿着第二个方向（即X方向）提取最大值
    acc = (Y == predicted).sum().float() / len(Y)
    print('[EPOCH]: %i, [LOSS]: %.6f, [ACCURACY]: %.3f' % (t, loss.item(), acc))
    display.clear_output(wait=True)

    # 反向传播前把梯度置 0 
    optimizer.zero_grad()
    # 反向传播优化 
    loss.backward()
    # 更新全部参数
    optimizer.step()

[EPOCH]: 999, [LOSS]: 0.861541, [ACCURACY]: 0.504

print(y_pred.shape) #可以看到模型的预测结果
print(y_pred[10, :])
print(score[10])
print(predicted[10])

torch.Size([3000, 3])
tensor([-0.1566, -0.1720, -0.1466], device='cuda:0', grad_fn=<SliceBackward>)
tensor(-0.1466, device='cuda:0', grad_fn=<SelectBackward>)
tensor(2, device='cuda:0')

# 输出模型
print(model)
plot_model(X, Y, model)

Sequential(
  (0): Linear(in_features=2, out_features=100, bias=True) 
  (1): Linear(in_features=100, out_features=3, bias=True)
)

通过结果可以看出：

第一层的输入为2（特征维度为主2），输出为100
第二层的输入为100（上一层的输出），输出为3（类比数）

构建两层神经网络分类

learning_rate = 1e-3
lambda_l2 = 1e-5

# 和上面模型不同的是在两层之间加入了一个 ReLU 激活函数
model = nn.Sequential(
    nn.Linear(D, H),
    nn.ReLU(),
    nn.Linear(H, C)
)
model.to(device)

# 下面的代码和之前是完全一样的
criterion = torch.nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=learning_rate, weight_decay=lambda_l2) # built-in L2

# 训练模型，和之前的代码是完全一样的
for t in range(1000):
    y_pred = model(X)
    loss = criterion(y_pred, Y)
    score, predicted = torch.max(y_pred, 1)
    acc = ((Y == predicted).sum().float() / len(Y))
    print("[EPOCH]: %i, [LOSS]: %.6f, [ACCURACY]: %.3f" % (t, loss.item(), acc))
    display.clear_output(wait=True)
    
    # zero the gradients before running the backward pass.
    optimizer.zero_grad()
    # Backward pass to compute the gradient
    loss.backward()
    # Update params
    optimizer.step()

[EPOCH]: 999, [LOSS]: 0.170588, [ACCURACY]: 0.953

# 输出模型
print(model)
plot_model(X, Y, model)

Sequential(
  (0): Linear(in_features=2, out_features=100, bias=True)
  (1): ReLU()
  (2): Linear(in_features=100, out_features=3, bias=True)
)

加入Relu激活函数之后分类的准确率得到了显著的提高：

采用sigmoid等函数，算激活函数时（指数运算），计算量大，反向传播求误差梯度时，求导涉及除法，计算量相对大，而采用Relu激活函数，整个过程的计算量节省很多
对于深层网络，sigmoid函数反向传播时，很容易就会出现梯度消失的情况（在sigmoid接近饱和区时，变换太缓慢，导数趋于0，这种情况会造成信息丢失，从而无法完成深层网络的训练

回归分析

下载显示结果所需的文件

!wget https://raw.githubusercontent.com/Atcold/pytorch-Deep-Learning/master/res/plot_lib.py

# 引入重要的库，初始化参数
import random
import torch
from torch import nn, optim
import math
from IPython import display
from plot_lib import plot_data, plot_model, set_default
from matplotlib import pyplot as plt

#初始化
set_default()

# 设置GPU
device = torch.device("cuda:0" if torch.cuda.is_available() else "cpu")

seed = 1
random.seed(seed)
torch.manual_seed(seed)
N = 1000  # 每类样本的数量
D = 1  # 每个样本的特征维度
C = 1  # 类别数
H = 100  # 隐层的神经元数量

# 返回100个1维变量
X = torch.unsqueeze(torch.linspace(-1, 1, 100), dim=1).to(device)
y = X.pow(3) + 0.3 * torch.rand(X.size()).to(device)

print("Shapes:")
print("X:", tuple(X.size()))
print("y:", tuple(y.size()))

Shapes:
X: (100, 1)
y: (100, 1)

# 在坐标系上显示数据
plt.figure(figsize=(6, 6))
# 散点图
plt.scatter(X.cpu().numpy(), y.cpu().numpy())
# 让x轴和y轴单位长度相等
plt.axis('equal');

建立线性模型

# 设置学习率和初始权值
learning_rate = 1e-3
lambda_l2 = 1e-5

# 建立神经网络模型
model = nn.Sequential(
    nn.Linear(D, H),
    nn.Linear(H, C)
)
model.to(device) # 模型转到 GPU

# 对于回归问题，使用MSE损失函数
criterion = torch.nn.MSELoss()

# 定义优化器，使用SGD
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=learning_rate, weight_decay=lambda_l2) # built-in L2

# 开始训练
for t in range(1000):
    # 数据输入模型得到预测结果
    y_pred = model(X)
    # 计算 MSE 损失
    loss = criterion(y_pred, y)
    print("[EPOCH]: %i, [LOSS or MSE]: %.6f" % (t, loss.item()))
    display.clear_output(wait=True)
    # 反向传播前，梯度清零
    optimizer.zero_grad()
    # 反向传播
    loss.backward()
    # 更新参数
    optimizer.step()

[EPOCH]: 999, [LOSS or MSE]: 0.029701

# 展示模型与结果
print(model)
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.scatter(X.data.cpu().numpy(), y.data.cpu().numpy())
plt.plot(X.data.cpu().numpy(), y_pred.data.cpu().numpy(), 'r-', lw=5)
plt.axis('equal');

Sequential(
  (0): Linear(in_features=1, out_features=100, bias=True)
  (1): Linear(in_features=100, out_features=1, bias=True)
)

两层神经网络

# 这里定义了2个网络，一个 relu_model，一个 tanh_model，
# 使用了不同的激活函数
relu_model = nn.Sequential(
        nn.Linear(D, H),
        nn.ReLU(),
        nn.Linear(H, C)
)
relu_model.to(device)

tanh_model = nn.Sequential(
        nn.Linear(D, H),
        nn.Tanh(),
        nn.Linear(H, C)   
)
tanh_model.to(device)

# MSE损失函数
criterion = torch.nn.MSELoss()
# 定义优化器，使用 Adam，这里仍使用 SGD 优化器的化效果会比较差，具体原因请自行百度
optimizer_relumodel = torch.optim.Adam(relu_model.parameters(), lr=learning_rate, weight_decay=lambda_l2) 
optimizer_tanhmodel = torch.optim.Adam(tanh_model.parameters(), lr=learning_rate, weight_decay=lambda_l2) 

# 开始训练
for t in range(1000):
    y_pred_relumodel = relu_model(X)
    y_pred_tanhmodel = tanh_model(X)
    # 计算损失与准确率
    loss_relumodel = criterion(y_pred_relumodel, y)
    loss_tanhmodel = criterion(y_pred_tanhmodel, y)
    print(f"[MODEL]: relu_model, [EPOCH]: {t}, [LOSS]: {loss_relumodel.item():.6f}")
    print(f"[MODEL]: tanh_model, [EPOCH]: {t}, [LOSS]: {loss_tanhmodel.item():.6f}")    
    display.clear_output(wait=True)

    optimizer_relumodel.zero_grad()
    optimizer_tanhmodel.zero_grad()
    loss_relumodel.backward()
    loss_tanhmodel.backward()
    optimizer_relumodel.step()
    optimizer_tanhmodel.step()

[MODEL]: relu_model, [EPOCH]: 999, [LOSS]: 0.006479
[MODEL]: tanh_model, [EPOCH]: 999, [LOSS]: 0.007934

从训练结果中可以看到使用Relu激活函数收敛的较快，而Tanh激活函数刚开始收敛速度较慢而随后快速收敛到较好的结果

回归结果

plt.figure(figsize=(12, 6))

def dense_prediction(model, non_linearity):
    plt.subplot(1, 2, 1 if non_linearity == 'ReLU' else 2)
    # 对X轴（-1,1）上的点的数据的维度进行压缩
    X_new = torch.unsqueeze(torch.linspace(-1, 1, 1001), dim=1).to(device)
    with torch.no_grad():
        y_pred = model(X_new)
    # 绘制折线图
    plt.plot(X_new.cpu().numpy(), y_pred.cpu().numpy(), 'r-', lw=1)
    # 绘制散点图
    plt.scatter(X.cpu().numpy(), y.cpu().numpy(), label='data')
    plt.axis('square')
    plt.title(non_linearity + ' models')

dense_prediction(relu_model, 'ReLU')
dense_prediction(tanh_model, 'Tanh')

Relu激活函数是一个分段线性函数，Tanh是一个连续平稳的回归

原因：当输入为负时，Relu的学习速度会变得很慢，甚至使神经元直接无效，因为此时输入小于0，梯度为0，其权重没法更新，因此在剩下的训练过程中会保持静默，所以Tanh的回归函数要相对光滑一些