本系列文章将于2021年整理出版。前驱教材：《算法竞赛入门到进阶》清华大学出版社
网购：京东当当作者签名书：点我
公众号同步：算法专辑
暑假福利：胡说三国
有建议请加QQ 群：567554289

文章目录

1. GCD定义
2. GCD性质
3. GCD编码

3.1 欧几里得算法
3.2 更相减损术
3.3 Stein算法

4. LCM
5. 例题
6. 习题

最大公约数¹和最小公倍数（Least Common Multiple）是竞赛中频繁出现的考点。

1. GCD定义

整数a和b的最大公因数是指能同时整除a和b的最大整数，记为gcd(a, b)。
例如：gcd(15, 81) = 3，gcd(0, 44) = 44，gcd(0, 0) = 0，gcd(-6, -15) = 3，gcd(-17，289) = 17。
注意：由于-a的因子和a的因子相同，因此gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|)。编码时只需要关注正整数的最大公因数。

2. GCD性质

（1）gcd(a,b) = gcd(a, a+b) = gcd(a, ka+b)
（2）gcd(ka, kb) = k·gcd(a, b)
（3）定义多个整数的最大公约数：gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)
（4）若gcd(a, b) = d，则gcd(a/d, b/d) = 1，即a/d与b/d互素。这个定理很重要。
（5）gcd(a+cb, b) = gcd(a, b)

3. GCD编码

编程时可以直接用c++函数std::__gcd(a, b)。注意：参数a和b都应该是正整数，否则可能会返回负数。下面介绍三种算法。

3.1 欧几里得算法

用辗转相除法求gcd，即gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。代码是：

int gcd(int a, int b){  // 一般要求a>=0, b>0。若a=b=0，代码也正确，返回0
	return b? gcd(b, a%b):a;
}

这是竞赛中最常用的编码，它极为高效，“拉梅定理”给出了复杂度分析。
拉梅定理：用欧几里得算法计算两个正整数的最大公因数，需要的除法次数不会超过两个整数中较小的哪个十进制数的位数的5倍。
推论：用欧几里得算法求gcd(a, b)，a > b，需要 $O((log_2a)^3)$ 次位运算。
欧几里得算法的缺点是需要做取模运算，而高精度的除法取模比较耗时，此时可以用“更相减损术”，它只用到了减法。

3.2 更相减损术

计算²基于这一性质：gcd(a, b) = gcd(b, a-b) = gcd(a, a-b)。

计算步骤：用较大的数减较小的数，把所得的差与较小的数比较，然后继续做减法操作，直到减数和差相等为止。
编码也很简单：

int gcd(int a, int b){
   while(a != b){
	   if(a > b)  a = a - b;
	   else       b = b - a;
   }
   return a;
}

更相减损术虽然避免了欧几里得的取模计算，但是计算次数比欧几里得算法多很多，极端情况下需要计算 $O(max(a, b))$ 次，例如a = 100，b = 1时，需计算100次。

3.3 Stein算法

它是更相减损术的改进，用位运算进行了优化。这里不做解析，请自己了解。
读者可以用下面这一题练习高精度大数的计算和Stein算法，类似的题有hdu 5050。

SuperGCD 洛谷 P2152
题目描述：求2个正整数a，b的最大公约数，0 < a, b ≤ $10^{10000}$ 。

不过，由于OJ都支持java，比赛的时候直接用java函数处理大数是最简单的：

//洛谷 P2152的java代码
import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
		BigInteger a = in.nextBigInteger();
		BigInteger b = in.nextBigInteger();
		System.out.println(a.gcd(b));
	}
}

4. LCM

a和b的最小公倍数lcm(a, b)，可以从算术基本定理推理得到。
算术基本定理（唯一分解定理）：任何大于1的正整数n都可以唯一分解为有限个素数的乘积： $n = p_1^{c_1}·p_2^{c_2}...·p_m^{c_m}$ ，其中 $c_i$ 都是正整数， $p_i$ 都是素数且从小到大。
设： $a = p_1^{c_1}·p_2^{c_2}...·p_m^{c_m}$ ， $b = p_1^{f_1}·p_2^{f_2}...·p_m^{f_m}$
那么：
$gcd(a, b) = p_1^{min\{c_1,f_1\}}·p_2^{min\{c2,f2\}}...·p_m^{min\{cm,fm\}}$ ，
$lcm(a, b) = p_1^{max\{c_1,f_1\}}·p_2^{max\{c2,f2\}}...·p_m^{max\{cm,fm\}}$
推出：
$gcd(a, b)*lcm(a,b)=a*b$ ，
即:
$lcm(a,b)= a*b/gcd(a, b) = a/gcd(a, b)*b$ 。
注意先做除法再做乘法，如果先做乘法可能会溢出³。

int lcm(int a, int b){ 
	return a / gcd(a, b) * b;
}

5. 例题

（1）hdu 5019
题目描述：给出整数x、y、k，求x、y的第k大公约数。
题解：先求最大公因数d = gcd(x, y)，由于其他公因子都是d的因子，那么从1到 $\sqrt{d}$ （注意不需要到d）逐个检查是否能整除d，即可找到所有公因子。

（2）hdu 2503
题目描述：给出2个分数a/b和c/d，求a/b + c/d，要求是最简形式。
题解：a/b + c/d = (ad + bc) / bd，分子和分母除以两者的最大公约数。

（3）hdu 2504
题目描述：已知a和b，求满足gcd(a,c) = b的最小的c。
题解：暴力搜b到a*b内符合条件的c。

（4）hdu 4497
题目描述：给定两个正整数G、L，问满足gcd(x, y, z) = G和lcm(x, y, z) = L的(x, y, z)有多少个？注意，(1, 2, 3)和(1, 3, 2)是不同的。
题解。此题利用了GCD的几个性质：
1）若gcd(a, b) = d，则gcd(a/d, b/d) = 1，即a/d与b/d互素；
2） $gcd(a, b) = p_1^{min\{c_1,f_1\}}·p_2^{min\{c2,f2\}}...·p_m^{min\{cm,fm\}}$
3） $lcm(a, b) = p_1^{max\{c_1,f_1\}}·p_2^{max\{c2,f2\}}...·p_m^{max\{cm,fm\}}$
若L % G ≠ 0，显然无解。下面分析L % G = 0的情况。
把问题转化为：满足gcd(x/G, y/G, z/G) = 1和lcm（x/G，y/G，z/G）= L/G的(x/G, y/G, z/G)有多少个。下面用排列组合分析有多少种情况。
根据算术基本定理，把x/G、y/G、z/G写成：
x/G = $p_1^{i_1}·p_2^{i_2}·p_3^{i_3}$
y/G = $p_1^{j_1}·p_2^{j_2}·p_3^{j_3}$
z/G = $p_1^{k_1}·p_2^{k_2}·p_3^{k_3}$
式子要满足x/G、y/G、z/G互素的条件。以{ $i_1, j_1, k_1$ }为例，其中至少有1个应该等于0。
另外，把L/G写成：
L/G = $p_1^{t_1}·p_2^{t_2}·p_3^{t_3}$
式子要满足lcm（x/G，y/G，z/G）= L/G。以{ $i_1, j_1, k_1$ }为例，允许的情况是：
1）{0, 0, $t_1$ }，有三种排列；
2）{0, $t_1$ , $t_1$ }，有三种排列；
3）{0, $t_1$ , 1 ~ $t_1$ -1}，有( $t_1$ -1)*6种排列；
加起来一共有 $t_1$ *6 种排列。
最后问题转化为求 $t_1$ 、 $t_2$ 、 $t_3$ ，即分解 L/G 的质因子。

6. 习题

GCD的题目一般和其他知识点结合出题。
hdu 2104，互素判定
hdu 3092，GCD+完全背包
hdu 5970，GCD+循环节
hdu 5584，LCM问题
洛谷 P2568 ，GCD + 莫比乌斯反演
洛谷 P2398，GCD求和
洛谷 P1890，询问区间内的GCD
poj 1722，GCD思维题
poj 2685，GCD+快速幂
poj 3101，大数GCD
poj 2429，GCD + Rabin-Miller测试

最大公约数有多种英文表述：Greatest Common Divisor(GCD)、Greatest Common Denominator、Greatest Common Factor(GCF)、Highest Common Factor (HCF)。 ↩︎
欧几里得《几何原本》是公元前三世纪的著作，中国《九章算术》成于公元一世纪，流行本是三世纪刘徽的注本，都非常古老。 ↩︎
参考：《算法竞赛入门经典（第2版）》，刘汝佳，清华大学出版社，312页。 ↩︎

算法竞赛专题解析（20）：数论--GCD和LCM