算法竞赛专题解析（11）：DP概述和常见DP面试题

本系列是这本算法教材的扩展资料：《算法竞赛入门到进阶》(京东 当当 ) 清华大学出版社
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  动态规划（DP）是一种算法技术，它将大问题分解为更简单的子问题，对整体问题的最优解决方案取决于子问题的最优解决方案。

1 DP概述

1.1 DP问题的特征

  下面以斐波那契数为例说明DP的概念。斐波那契数列的每个数字是前面两个数字的和，前几个数是1、1、2、3、5、8。计算第n个斐波那契数，用递推公式进行计算：
$$fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) $$
  用递归编程，代码如下。

int fib (int n){
    if (n == 1 || n == 2)  
        return 1;
    return (fib (n -1) + fib (n -2));
}

  为了解决总体问题\(fib(n)\)，将其分解为两个较小的子问题\(fib(n-1)\)和\(fib(n-2)\)。这就是DP的应用场景。
  DP问题满足2个特征：重叠子问题、最优子结构。
  （1）重叠子问题
  子问题是原大问题的小版本，计算步骤完全一样。以斐波那契数为例，用递归计算\(fib(5)\)，分解为以下子问题：

图1 计算斐波那契数

  其中\(fib(3)\)计算了2次，这就是重叠子问题。
  （2）最优子结构
  把问题构造成\(fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)\)，即把原来为\(n\)的大问题，减小为\(n-1\)和\(n-2\)的小问题，这是斐波那契数的最优子结构。

1.2 DP的两种实现

  处理DP中的大问题和小问题，有两种思路：自顶向下（先大问题再小问题）、自下而上（先小问题再大问题）。
  编码实现DP时，自顶向下用带记忆化的递归，自下而上用递推。两种方法的复杂度是一样的，每个子问题都计算一遍，而且只计算一遍。
  （1）自顶向下与记忆化递归
  先考虑大问题，再缩小到小问题，递归很直接地体现了这种思路。为避免递归时重复计算子问题，可以在子问题得到解决时，就保存结果，再次需要这个结果时，直接返回保存的结果就行了。这种存储已经解决的子问题的结果的技术称为“记忆化（Memoization）”。
  以斐波那契数为例，记忆化代码如下：

int memoize[maxn];                  //保存结果
int fib (int n){
    if (n == 1 || n == 2)  
        return 1;
    if(memoize[n] != 0)             //直接返回保存的结果，不再递归
        return memoize[n];    
    memoize[n]= fib (n - 1) + fib (n - 2);     //递归计算结果，并记忆
    return memoize[n];
}

  （2）自下而上与制表递推
  这种方法与递归的自顶向下相反，避免了递归的编程方法。这种“自下而上”的方法，先解决子问题，再递推到大问题。通常通过填写多维表格来完成。根据表中的结果，逐步计算出大问题的解决方案。
  用制表法计算斐波那契数，维护一个一维表\(dp[]\)，记录自下而上的计算结果，更大的数是前面两个数的和。
  代码如下：

const int maxn = 255;
int dp[maxn];
int fib (int n){
    dp[1] = dp[2] =1;
    for (int i = 3;i<=n;i++)
        dp[i] = dp[i-1] +dp[i-2];
    return dp[n];
}

  在DP编程时，大多使用制表递推的编程方法。超过4维（\(dp[][][][]\)）的表格也是常见的。

2 经典DP面试问题

  本节介绍了10个经典的DP面试问题^[1]，并且以第一个“0/1背包问题”为例，详细解释与DP有关的内容：
  （1）dp的设计；
  （2）dp方程的推导；
  （3）记忆化和递推编码；
  （4）具体方案的输出；
  （5）滚动数组。DP使用的空间可以用滚动数组优化。DP的状态方程，常常是二维和二维以上，占用了太多的空间。滚动数组是减少空间的技术，例如它可以把二维状态方程的\(O(n^2)\)空间复杂度，优化到\(O(n)\)，更高维的数组也可以优化。

2.1 0/1背包问题（0/1 Knapsack Problem）

  问题描述：给定\(n\)种物品和一个背包，物品\(i\)的重量是\(w_i\)，价值为\(v_i\)，背包的总容量为\(C\)。把物品装入背包时，第\(i\)种物品只有两种选择：装入背包或不装入背包，称为0/1背包。如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大?
  设\(x_i\)表示物品\(i\)装入背包的情况：\(x_i=0\)时，不装入背包；\(x_i=1\)时，装入背包。有以下约束条件和目标函数：
  约束条件：\(\sum_{i=1}^nw_ix_i \leq C\)   \(x_i\in\{0,1\},1 \leq i \leq n\)
  目标函数：\(max \sum_{i=1}^nv_ix_i\)

  下面以0/1背包问题为例，详细解释DP相关知识点。首先看一个例题。

---

hdu 2602 Bone Collector http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602
问题描述：“骨头收集者”带着体积C的背包去捡骨头，已知每个骨头的体积和价值，求能装进背包的最大价值。N <= 1000，C<= 1000。
输入：第1行是测试数量；后面每3行是1个测试，其中第1行是骨头数量N和背包体积C，第2行是每个骨头的价值，第3行是每个骨头的体积。
输出：
最大价值。
样例输入：
1
5 10
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
样例输出：
14

---

（1）dp的设计
  引进一个\((N+1)×(C+1)\)大小的二维数组\(dp\)，\(dp[i][j]\)表示把前\(i\)个物品（从第1个到第\(i\)个）装入容量为\(j\)的背包中获得的最大价值。
  可以把每个\(dp[i][j]\)都看成一个背包，最后的\(dp[N][C]\)就是答案：把\(N\)个物品装进容量\(C\)的背包。
（2）dp转移方程
  现在自下而上计算dp，假设现在递推到\(dp[i][j]\)，它表示把前\(i\)个物品装进容量为\(j\)的背包。分2种情况：
  1）第\(i\)个物品的体积比容量\(j\)还大，不能装进容量\(j\)的背包。那么直接继承前\(i-1\)个物品装进容量\(j\)的背包的情况即可：\(dp[i][j] = dp[i-1][j]\)。
  2）第\(i\)个物品的体积比容量\(j\)小，能装进背包。又可以分为2种情况：装或者不装第\(i\)个。
  （a）装第\(i\)个。从前\(i-1\)个物品的情况下推广而来，前\(i-1\)个物品是\(dp[i-1][j]\)。第\(i\)个物品装进背包后，背包容量减少\(bone[i].volum\)，价值增加\(bone[i].value\)。所以有：

\[dp[i][j] = dp[i-1][j-bone[i].volum] + bone[i].value \]

  （b）不装第\(i\)个。那么：\(dp[i][j] = dp[i-1][j]\)。
  取（a）和（b）的最大值，状态转移方程是：
$$dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-bone[i].volum] + bone[i].value)$$
  总结上述分析，0/1背包问题的重叠子问题是\(dp[i][j]\)，最优子结构是\(dp[i][j]\)的状态转移方程。
  算法的时间复杂度：算法需要计算二维矩阵dp，二维矩阵大小是\(N×C\)，每一项计算时间是\(O(1)\)，总复杂度是\(O(N×C)\)。算法的空间复杂度是\(O(N×C)\)。
  0/1背包问题的简化版。一般物品有体积（或者重量）、价值这2个属性，求满足体积约束条件下的最大价值。如果再简单一点，只有一个体积属性，求能放到背包的最多物品，那么，只要把体积看成价值，求最大体积就好了。状态方程变为：
$$dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - volum[i]] + volum[i])$$
（3）详解dp的转移过程
  初学者可能对上面的描述仍不太清楚，下面用一个例子详细说明：有4个物品，其体积分别是{2, 3, 6, 5}，价值分别为{6, 3, 5, 4}，背包的容量为9。
  填dp表的过程，按照只装第1个物品、只放前2个、只放前3个......的顺序，一直到装完，这就是从小问题扩展到大问题的过程。

图2 dp矩阵

  步骤1：只装第1个物品。
  由于物品1的体积是2，所以背包容量小于2的，都放不进去，得\(dp[1][0]=dp[1][1]=0\)；
  物品1的体积等于背包容量，能装进去，背包价值等于物品1的价值，\(dp[1][2]=6\)；
  容量大于2的背包，多余的容量用不到，所以价值和容量2的背包一样。

图3 装第1个物品

  步骤2：只装前2个物品。
  如果物品2体积比背包容量大，那么不能装物品2，情况和只装第1个一样。见下图中的\(dp[2][0]=dp[2][1]=0，dp[2][2]=6\)。
  下面填\(dp[2][3]\)。物品2体积等于背包容量，那么可以装物品2，也可以不装：
  （a）如果装物品2（体积是3），那么可以变成一个更小的问题，即只把物品1装到（容量 - 3）的背包中。

图4 装第2个物品

  （b）如果不装物品2，那么相当于只把物品1装到背包中。

图5 不装第2个物品

  取（a）和（b）的最大值，得\(dp[2][3] = max\{3,6\} = 6\)。
  后续步骤：继续以上过程，最后得到下图（图中的箭头是几个例子）：

图6 完成dp矩阵

  最后的答案是\(dp[4][9]\)：把4个物品装到容量为9的背包，最大价值是11。
（4）输出背包方案
  现在回头看具体装了哪些物品。需要倒过来观察：
  \(dp[4][9]=max{dp[3][4]+4,dp[3][9]} = dp[3][9]\)，说明没有装物品4，用\(x_4=0\)表示；
  \(dp[3][9]=max{dp[2][3]+5,dp[2][9]} = dp[2][3]+5 = 11\)，说明装了物品3，\(x_3=1\)；
  \(dp[2][3]=max{dp[1][0]+3,dp[1][3]} = dp[1][3]\)，说明没有装物品2，\(x_2=0\)；
  \(dp[1][3]=max{dp[0][1]+6,dp[0][3]} = dp[0][1]+6 = 6\)，说明装了物品1，\(x_1=1\)。
  图中的实线箭头指出了方案的路径。

图7 背包方案

（5）记忆化代码和递推代码
  下面的代码分别用自下而上的递推和自上而下的记忆化递归实现。
  1）递推代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct BONE{
	int value, volum;
}bone[1011];
int dp[1011][1011];
int solve(int n, int c){
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=0; j<=c; j++){
     	  if(bone[i].volum > j)        //第i个物品比背包还大，装不了
              dp[i][j] = dp[i-1][j];
           else                        //第i个物品可以装
	          dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-bone[i].volum]+bone[i].value);
    }
    return dp[n][c];
}
int main(){    
	int T; cin>>T;
	while(T--){
		int N,C; cin >> N >> C;
		for(int i=1;i<=N;i++)	cin>>bone[i].value;
		for(int i=1;i<=N;i++)	cin>>bone[i].volum;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
		cout << solve(N, C) << endl;
	}
	return 0;
}

2）记忆化代码。只改动了上面代码中的solve()。

int solve(int i, int j){        //前i个物品，放进容量j的背包
    if (dp[i][j] != 0)           //记忆化
        return dp[i][j];    
	if(i == 0) return 0;	
	int res;
	if(bone[i].volum > j)            //第i个物品比背包还大，装不了
        res =  solve(i-1,j);    
	else                           //第i个物品可以装
        res =  max(solve(i-1,j), solve(i-1,j-bone[i].volum)+bone[i].value);    
    return dp[i][j] = res;
}

（6）滚动数组
  上述代码使用了二维矩阵\(dp[][]\)，有可能超过题目许可的空间限制。此时可以用滚动数组减少空间，也就是把\(dp[][]\)替换成一维的\(dp[]\)。观察二维表\(dp[][]\)，可以发现，每一行是从上面一行算出来的，只跟上面一行有关系，跟更前面的行没有关系，那么用新的一行覆盖原来的一行（滚动）就好了。

int dp[1011];                                    //替换 int dp[1011][1011];
int solve(int n, int c){
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=c; j>=bone[i].volum; j--)  //反过来循环
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-bone[i].volum]+bone[i].value);
    return dp[c];
}

  注意j应该反过来循环，即从后面往前面覆盖。请读者思考原因。
  经过滚动数组的优化，空间复杂度从\(O(N×C)\)减少为\(O(C)\)。
  滚动数组也有缺点。它覆盖了中间转移状态，只留下了最后的状态，所以损失了很多信息，导致无法输出背包的方案。
  二维以上的dp数组也常常能优化。比如求\(dp[t][][]\)，如果它只和\(dp[t-1][][]\)有关，不需\(dp[t-2][][]\)、\(dp[t-3][][]\)等，那么可以把数组缩小为\(dp[2][][]\)。后面的很多问题都可以用滚动数组优化。

2.2 最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS)

  一个给定序列的子序列，是在该序列中删去若干元素后得到的序列。例如：X = {\(A, B, C, B, D, A, B\)}，它的子序列有{\(A, B, C, B, A\)}、{\(A, B, D\)}、{\(B, C, D, B\)}等。子序列和子串是不同的概念，子串的元素在原序列中是连续的。
  给定两个序列\(X\)和\(Y\)，当另一序列\(Z\)既是\(X\)的子序列又是\(Y\)的子序列时，称\(Z\)是序列\(X\)和\(Y\)的公共子序列。最长公共子序列是长度最长的子序列。
  问题描述：给定两个序列\(X\)和\(Y\)，找出\(X\)和\(Y\)的一个最长公共子序列。
  用暴力法找最长公共子序列，需要先找出\(X\)的所有子序列，然后验证是否\(Y\)的子序列。如果\(X\)有\(m\)个元素，那么\(X\)有\(2^m\)个子序列；\(Y\)有\(n\)个元素；总复杂度大于\(O(n2^m)\)。
  用动态规划求LCS，复杂度是\(O(nm)\)。
  用\(dp[i][j]\)表示序列\(X_i\)（表示\(x_1,...,x_i\)这个序列，即\(X\)的前\(i\)个元素组成的序列；这里用小写的\(x\)表示元素，用大写的\(X\)表示序列）和\(Y_j\)（表示\(y_1,...,y_j\)这个序列，即\(Y\)的前\(j\)个元素）的最长公共子序列的长度。\(dp[n][m]\)就是答案。
  分解为2种情况：
  （1）当\(x_i = y_j\)时，找出\(X_{i-1}\)和\(Y_{j-1}\)的最长公共子序列，然后在其尾部加上\(x_i\)即可得到\(X_i\) 和\(Y_j\)的最长公共子序列。
  （2）当\(x_i ≠ y_j\)时，求解两个子问题：\(X_{i-1}\)和\(Y_j\)的最长公共子序列；\(X_i\)和\(Y_{j-1}\)的最长公共子序列。取其中的最大值。
  状态转移方程是：
    \(dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1\)          \(x_i = y_j\)
    \(dp[i][j] = max\{dp[i][j-1], dp[i-1][j]\}\)    \(x_i ≠ y_j\)
  习题：hdu 1159 Common Subsequence http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1159

2.3 最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）

  问题描述：给定一个长度为\(n\)的数组，找出一个最长的单调递增子序列。
  例如一个长度为6的序列\(A=\{5, 6, 7, 4, 2, 8, 3\}\)，它最长的单调递增子序列为{\(5, 6, 7, 8\)}，长度为4。
  定义状态\(dp[i]\)，表示以第\(i\)个数为结尾的最长递增子序列的长度，那么：

\[dp[i] = max\{dp[j]\}+1 \qquad 0< j < i, A_j < A_i \]

  最后答案是\(max\{dp[i]\}\)。
  复杂度：\(j\)在\(0\) ~ \(i\)之间滑动，复杂度是\(O(n)\)；\(i\)的变动范围也是\(O(n)\)的；总复杂度\(O(n^2)\)。
  DP并不是LIS问题的最优解法，有复杂度\(O(nlogn)\)的非DP解法[参考《算法竞赛入门到进阶》“7.1.4 最长递增子序列”的详细讲解。]。
  习题：hdu 1257 最少拦截系统 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1257

2.4 编辑距离（Edit Distance）

  问题描述：给定两个单词\(word1\)和\(word2\)，计算出将\(word1\)转换为\(word2\)所需的最小操作数。一个单词允许进行以下3种操作：（1）插入一个字符；（2）删除一个字符；（3）替换一个字符。
  把长度为\(m\)的\(word1\)存储在数组\(word1[1]\) ~ \(word1[m]\)，长度为n的\(word2\)存储在\(word2[1]\) ~ \(word2[n]\)。不用\(word1[0]\)和\(word2[0]\)。
  定义二维数组 \(dp\)，\(dp[i][j]\)表示从 \(word1\) 的前\(i\)个字符转换到 \(word2\) 的前j个字符所需要的操作步骤，\(dp[m][n]\)就是答案。下图是\(word1=”abcf”\)，\(word2=”bcfe”\)的\(dp\)转移矩阵。

图8 编辑距离的dp矩阵

  状态转移方程：
  (1)若\(word1[i] = word2[j]\)，则\(dp[i][j] = dp[i-1][j-1]\)。例如图中\(dp[2][1]\)处的箭头。
  (2)其他情况：\(dp[i][j] = min\{dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]\} + 1\)。例如图中\(dp[4][2]\)处的箭头。\(dp[i][j]\)是它左、左上、上的三个值中的最小值加1，分别对应以下操作：
  1）\(dp[i-1][j]+1\)，插入，在\(word2\)的最后插入\(word1\)的最后字符；
  2）\(dp[i][j-1]+1\)，删除，将\(word2\)的最后字符删除；
  3）\(dp[i-1][j-1]+1\)，替换，将\(word2\)的最后一个字符替换为\(word1\)的最后一个字符。
  复杂度：\(O(mn)\)。
  习题：力扣72 编辑距离https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance/

2.5 最小划分（Minimum Partition）

  问题描述：给出一个正整数数组，把它分成S1、S2两部分，使S1的数字和与S2的数字和的差的绝对值最小。最小划分的特例是S1和S2的数字和相等，即差为0。
  例如：数组\([1, 6, 11, 5]\)，最小划分是\(S1 = [1, 5, 6]\)，\(S2 = [11]\)；\(S1\)的数字和减去\(S2\)的数字和，绝对值是\(|11 - 12| = 1\)。
  最小划分问题可以转化为0/1背包问题。求出数组的和\(sum\)，把问题转化成：背包的容量为\(sum/2\)，把数组的每个数字看成物品的体积，求出背包最多可以放\(res\)体积的物品，返回结果\(|res-(sum-res)|\)。
  习题：lintcode 724 Minimum Partition
https://www.lintcode.com/problem/minimum-partition/description

2.6 行走问题（Ways to Cover a Distance）

  问题描述：给定一个整数\(n\)表示距离，一个人每次能走1、2、3步，问走到n步，有多少种走法。例如\(n\) = 3，有4种走法：{1, 1, 1}、{1, 2}、{2, 1}、{3}。
  和爬楼梯问题差不多。爬楼梯问题是每次能走1级或2级，问走到第n级有多少种走法。爬楼梯的解实际上是一个斐波那契数列。
  定义行走问题的状态\(dp[i]\)为走到第\(i\)步的走法数量，那么有：
  \(dp[0] = 1，dp[1] = 1，dp[2] = 2\)
  当i > 2时：\(dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]\)

2.7 矩阵最长递增路径(Longest Path In Matrix)

  问题描述：给定一个矩阵，找一条最长路径，要求路径上的数字递增。矩阵的每个点，可以往上、下、左、右四个方向移动，不能沿对角线方向移动。
  例如矩阵：
      \(\begin{matrix} 9 & 9 & 3 \\ 7 & 5 & 7 \\ 3 & 1 & 1\end{matrix}\)
  它的一个最长递增路径是[1, 3, 7, 9]，长度是4。
  下面给出2种解法：
  （1）暴力DFS。设矩阵有m×n个点，以每个点为起点做DFS搜索递增路径，在所有递增路径中找出最长的路径。每个DFS都是指数时间复杂度的，复杂度非常高。
  （2）记忆化搜索。在暴力DFS的基础上，用记忆化进行优化。把每个点用DFS得到的最长递增路径记下来，后面再搜到这个点时，直接返回结果。由于每个点只计算一次，每个边也只计算一次，虽然做了m×n次DFS搜索，但是总复杂度仍然是O(V+E)= O(mn)的，其中V是点数，E是边数。这也算是动态规划的方法。
  习题： 力扣329 矩阵中的最长递增路径
https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-path-in-a-matrix/

2.8 子集和问题 （Subset Sum Problem）

  问题描述：给定一个非负整数的集合S，一个值M，问S中是否有一个子集，子集和等于M。
  例如：S[] = {6, 2, 9, 8, 3, 7}, M = 5，存在一个子集{2, 3}，子集和等于5。
  用暴力法求解，即检查所有的子集。子集共有有\(2^n\)个，为什么？用二进制帮忙理解：一个元素被选中，标记为1；没有选中，标记为0；空集是n个0，所有元素都被选中是n个1，从n个0到n个1，共有\(2^n\)个。
  用DP求解，定义二维数组 \(dp\)。当\(dp[i][j]\)等于1时，表示S的前\(i\)个元素存在一个子集和等于\(j\)。题目的答案就是dp[n][M]。
  用S[1]～S[n]记录集合S的n个元素。
  状态转移方程，分析如下：
  （1）若S[i] > j，则S[i]不能放在子集中，有\(dp[i][j] = dp[i-1][j]\)；
  （2）若S[i] <= j, 有两种选择：
  不把S[i]放在子集中，则\(dp[i][j] = dp[i-1][j]\)；
  把S[i]放在子集中，则\(dp[i][j]= dp[i-1][j-S[i]]\)。
  这2种选择，只要其中一个为1，那么\(dp[i][j]\)就为1。
  读者可以用下面的图例进行验证。

图9 子集和问题的dp矩阵

  如果已经确定问题有解，即\(dp[n][M]=1\)，如何输出子集内的元素？按推导转移方程的思路，从\(dp[n][M]\)开始，沿着\(dp\)矩阵倒推回去即可。

2.9 最优游戏策略（Optimal Strategy for a Game）

  问题描述：有\(n\)堆硬币排成一行，它们的价值分别是\(v_1, v_2, ..., v_n\)，\(n\)为偶数；两人交替拿硬币，每次只能在剩下的硬币中，拿走第一堆或最后一堆硬币。如果你是先手，你能拿到的最大价值是多少？
  例如：{8, 15, 3, 7}，先手这样拿可以获胜：（1）先手拿7；（2）对手拿8；（3）先手拿15；（4）对手拿3，结束。先手拿到的最大价值是7 + 15 = 22。
  这一题不能用贪心法。比如在样例中，如果先手第一次拿8，那么对手接下来肯定拿15，先手失败。
  定义二维\(dp\)，\(dp[i][j]\)表示从第\(i\)堆到\(j\)堆硬币区间内，先手能拿到的最大值。
  在硬币区间\([i, j]\)，先手有两个选择：
  1）拿\(i\)。接着对手也有2个选择，拿\(i+1\)或\(j\)：拿\(i+1\)，剩下\([i+2, j]\)；拿\(j\),剩下\([i+1, j-1]\)。在这2个选择中，对手必然选那个对先手不利的。
  2）拿\(j\)。接着对手也有2个选择，拿\(i\)或\(j-1\)：拿\(i\)，剩下\([i+1, j-1]\)；拿\(j-1\),剩下\([i, j-2]\)。
  得到dp转移方程^[2]：
    \(dp[i][j]=Max(V[i]+min(dp[i+2][j],dp[i+1][j-1]), V[j]+min(dp[i+1][j-1], dp[i][j-2]))\)
    \(dp[i][j] = V[i]\)         if \(j == i\)
    \(dp[i][j] = max(V[i], V[j])\)  if \(j == i+1\)

2.10 矩阵链乘法（Matrix Chain Multiplication）

  背景知识：
  （1）矩阵乘法。如果矩阵A、B能相乘，那么A的列数等于B的行数。设A是m行n列（记为m×n），B是n×u，那么乘积AB的行和列是m×u的，矩阵乘法AB需要做\(m×n×u\)次乘法计算。（注意本小节的"×"符号有2个意思，分别表示矩阵和乘法。）
  （2）矩阵乘法的结合律：\((AB)C = A(BC)\)。括号体现了计算的先后顺序。
  （3）在不同的括号下，矩阵乘法需要的乘法操作次数不同。以矩阵A、B、C的乘法为例，设A的行和列是m×n的，B是n×u，C是u×v，下面的两种计算方法，需要的乘法次数分别是：
     \((AB)C\)，计算次数是 \(m×n×u + m×u×v\)
     \(A(BC)\)，计算次数是 \(m×n×v + n×u×v\)
  两者的差是\(|m×n×(u-v)+u×v×(m-n)|\)，它可能是一个巨大的值。如果能知道哪一个括号方案是最优的，就能够大大减少计算量。
  矩阵链乘法问题：给定一个数组\(P[]\)，其中\(p[i-1]×p[i]\)表示矩阵\(A_i\)，输出最少的乘法次数，并输出此时的括号方案。
  例如\(p[]\) = {40, 20, 30, 10, 30}，它表示4个矩阵：40×20，20×30，30×10，10×30。4个矩阵相乘，当括号方案是\((A(BC))D\)时，有最少乘法次数26000。
  如果读者学过区间DP，就会发现这是一个典型的区间DP问题。设链乘的矩阵是\(A_iA_{i+1}…A_j\)，即区间\([i, j]\)，那么按结合率，可以把它分成2个子区间\([i, k]、[k+1,j]\)，分别链乘，有：
    \(A_iA_{i+1}…A_j = (A_i...A_k)(A_{k+1}...A_j)\)
  必定有一个\(k\)，使得乘法次数最少，记这个\(k\)为\(k_{i,j}\)。并且记\(A_{i,j}\)为此时\(A_iA_{i+1}…A_j\)通过加括号后得到的一个最优方案，它被\(k_{i,j}\)分开。
  那么子链\(A_iA_{i+1}…A_k\)的方案\(A_{i,k}\)、子链\(A_{k+1}A_{k+2}…A_j\)的方案\(A_{k+1, j}\)也都是最优括号子方案。
  这样就形成了递推关系：
    \(A_{i,j} = min\{A_{i,k} + A_{k+1,j} + p_{i-1}p_kp_j\}\)
  用二维矩阵\(dp[i][j]\)来表示\(A_{i,j}\)，得到转移方程为：
$$dp[i][j]= \begin{cases} 0, & \text {i=j} \ { min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+p[i-1]p[k]p[j]} }, & \text{i≤k<j} \end{cases}$$

  \(dp[1][n]\)就是答案，即最少乘法次数。
  \(dp[i][j]\)的编码实现，可以套用区间DP模板，遍历\(i、j、k\)，复杂度是\(O(n^3)\)。
  区间DP常常可以用四边形不等式优化，但是这一题不行，因为它不符合四边形不等式优化所需要的单调性条件。
  习题： poj 1651 Multiplication Puzzle http://poj.org/problem?id=1651

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1. 问题列表来自：https://www.geeksforgeeks.org/top-20-dynamic-programming-interview-questions/ ↩︎

2. 还有一种DP方案，参考：https://www.geeksforgeeks.org/optimal-strategy-for-a-game-set-2/ ↩︎