目录
1. 克鲁斯卡尔算法介绍
1)克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。（最小生成树也可以通过普里姆算法生成，具体可参考算法其实很简单—普利姆算法）
2)基本思想:按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
3)具体做法:首先构造一一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止
2. 公交站问题
1)某城市新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G)， 现在需要修路把7个站点连通
2)各个站点的距离用边线表示(权)，比如A-B距离12公里
3) 问:如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
2.1 克鲁斯卡尔算法图解
第1步:将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步:将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步:将边<D,E>加入R中。
上一 步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步:将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路;因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>.将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步:将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步:将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路;因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>.将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成!它包括的边依次是: < <E,F> <C,D> <D,E><B,F> < <E,G> <A,B>.
2.2 克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:
问题一对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是:记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
2.3 如何判断是否构成回路
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点:
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03)E的终点是F。
(04) F的终点是F。
关于终点的说明:
1)就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后;某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
2)因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点,否则将构成回路。
3. 代码实现
package com.example.datastructureandalgorithm.kruska;
import java.util.Arrays;
import java.util.Collections;
/**
* @author 浪子傑
* @version 1.0
* @date 2020/6/17
*/
public class KruskaDemo {
public static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
int matrix[][] = {
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}
};
Kruska kruska = new Kruska(vertexs, matrix);
kruska.print();
System.out.println(Arrays.toString(kruska.getEdges()));
EData[] eDatas = kruska.getEdges();
Collections.sort(Arrays.asList(eDatas));
// kruska.sortEData(eDatas);
System.out.println(Arrays.toString(eDatas));
kruska.kruska();
}
}
class Kruska {
private int edgeNum;
private char[] vertexs;
private int[][] matrix;
public Kruska(char[] vertexs, int[][] matrix) {
this.vertexs = vertexs;
this.matrix = matrix;
int length = vertexs.length;
for (int i = 0; i < length; i++) {
for (int j = i + 1; j < length; j++) {
if (matrix[i][j] != KruskaDemo.INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
public void print() {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
/**
* 使用冒泡排序对eDatas进行排序
*
* @param eDatas
*/
public void sortEData(EData[] eDatas) {
for (int i = 0; i < eDatas.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < eDatas.length - i - 1; j++) {
if (eDatas[j + 1].weight < eDatas[j].weight) {
EData temp = eDatas[j];
eDatas[j] = eDatas[j + 1];
eDatas[j + 1] = temp;
}
}
}
}
/**
* 查找ch对应点的下标
*
* @param ch
* @return
*/
public int getPosition(char ch) {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i] == ch) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 获取邻接矩阵转为的EData
*
* @return
*/
public EData[] getEdges() {
int index = 0;
EData[] eDatas = new EData[edgeNum];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
if (matrix[i][j] != KruskaDemo.INF) {
eDatas[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return eDatas;
}
/**
* 获取下标为i的顶点的终点，用于判断两个顶点的重点是否相同
*
* @param ends 记录各个顶点的重点，动态生成的
* @param i
* @return
*/
public int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
public void kruska() {
// 表示结果数组的索引
int index = 0;
// 记录每个顶点的重点
int[] ends = new int[edgeNum];
// 最终返回的结果
EData[] result = new EData[edgeNum];
// 获取所有边的集合
EData[] eDatas = getEdges();
// 对eData进行排序
sortEData(eDatas);
for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
// 获取开始顶点的位置
int p1 = getPosition(eDatas[i].start);
// 获取结束顶点的位置
int p2 = getPosition(eDatas[i].end);
// 获取终点位置
int m = getEnd(ends, p1);
int n = getEnd(ends, p2);
// 当不相同时，说明没有形成回来
if (m != n) {
ends[m] = n;
result[index++] = eDatas[i];
}
}
for (int i = 0; i < index; i++) {
System.out.println(result[i]);
}
}
}
class EData implements Comparable<EData> {
char start;
char end;
int weight;
public EData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return "EData{" +
"<" + start +
", " + end +
"> =" + weight +
'}';
}
@Override
public int compareTo(EData o) {
return this.weight - o.weight;
}
}