动物园（noi2014）

其实是好久之前写的了…

Important Background ：

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的园长决定开设算法班，让动物们学习算法。某天，园长给动物们讲解KMP算法。

Description：

对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作 $num_i$ 。求 $\sum_{i=1}^L(num_i+1)$ 对 $1e9+7$ 取模的结果

Solution ：

据说这种前缀后缀啊求数量的要用Next树…

Next树即为i与 $next_i$ 连边形成的树，根为0。

为了方便起见，下文称字符串S前i个字符构成的子串为 $S_i$

容易发现点i的任意祖先节点j， $S_j$ 都既是 $S_i$ 的后缀的同时又是它的后缀。如果不是i的祖先节点那么就不满足。

题目还要求后缀与前缀不能重叠，这要求 $j<=\lfloor\frac{i}{2}\rfloor$ 。

所以暴力向上跳就可以求出答案，但是会被卡。需要优化。

优化妙啊

我们先求不考虑前缀与后缀不能重叠这个限制的答案 $ans_i$

那么上述暴力跳的过程可以转化为，对于i，暴力向上跳找到第一个j满足 $j<=\lfloor\frac{i}{2}\rfloor$ ，那么 $num_i=ans_j$

现在优化这个暴力。

假设 $i-1$ 已经求出了j’，那么i的j最多也就是j’+1。这其实和一般的kmp很像，首先要满足匹配，就是一个普通kmp的过程。匹配上了以后再判是否有重叠，重叠就再取next。这为什么是对的呢？？因为这相当于从右边界开始，把不满足的刷掉，缩小右边界，找到答案。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N,nex[1000010],ans[1000010];
char S[1000010];
long long p=1000000007;
int main()
{
	scanf("%d",&N);
	for (int i1=1;i1<=N;i1++) {
		long long cnt=1;
		scanf("%s",S+1);
		memset(nex,0,sizeof(nex));
		memset(ans,0,sizeof(ans));
		int now=0;nex[1]=0;ans[1]=1;
		int n=strlen(S+1);
		for (int i=2;i<=n;i++) {
			while (now&&S[now+1]!=S[i]) now=nex[now];
			if (S[now+1]==S[i]) now++;
			nex[i]=now;
			ans[i]=ans[now]+1;
		}
		now=0;
		for (int i=2;i<=n;i++) {
			while (now&&S[now+1]!=S[i]) now=nex[now];
			if (S[now+1]==S[i]) now++;
			while (now>i/2) now=nex[now];
			cnt=cnt*(ans[now]+1)%p;
		}
		printf("%lld\n",cnt);
    }
    return 0;
}