【题目】NOI2014 动物园

题目大意

题目首先花了大量篇幅介绍了KMP算法。其中包括回退数组 $next$：

• 对于字符串 $S$的前 $i$个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作 $next[i]$。
• 例如 $S$为 $abcababc$，则 $next[5]=2$。因为 $S$的前 $5$个字符为 $abcab$， $ab$既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出 $next[1]=next[2]=next[3]=0$， $next[4]=next[6]=1$， $next[7]=2$， $next[8]=3$。

而本题要求求出一个 $num$数组：

• 对于字符串 $S$的前 $i$个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作 $num[i]$。
• 例如 $S$为 $aaaaa$，则 $num[4]=2$。这是因为 $S$的前 $4$个字符为 $aaaa$，其中 $a$和 $aa$都满足性质“既是后缀又是前缀”，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而 $aaa$虽然满足性质“既是后缀又是前缀”，但是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理， $num[1]=0$， $num[2]=num[3]=1$， $num[5]=2$。

字符串的长度很大（ $L\leqslant 1000000$），结果输出 $\prod\limits_{i=1}^L(num[i]+1)\mod 1000000007$。

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思路

$num$数组中“后缀与前缀不重叠”的条件不容易处理，并且跟 $next$数组的定义大相径庭，故定义一个 $num'$数组：

• 对于字符串 $S$的前 $i$个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀的字符串的数量记作 $num[i]$。这里的前缀和后缀包括 $S$本身。

其实就是去掉“后缀与前缀不重叠”这个条件的 $num$数组。

$num'[i]$中统计的串中，首先一定有这个串本身；而其它的串都被囊括在 $next[i]$表示的串内（包括两个长度为 $next[i]$的串）：

根据 $next$数组的定义，首尾两个长度为 $next[i]$的串相同，把所有的串平移至同一个长度为 $next$的串内：

这些串就成了前 $next[i]$个字符构成的子串中既是后缀又是前缀的字符串，根据定义，这些串的数量为 $num'[next[i]]$。
再加上前 $i$个字符构成的子串本身，得出递推式：
$num'[i]=num'[next[i]]+1$

递推的时间复杂度是 $O(n)$（这里以及下文的 $n$指字符串长度 $L$，也就是 $num$数组的大小）。递推的边界是 $num'[0]=0$。

现在考虑把“后缀与前缀不重叠”的条件加上。这个条件就是让 $num[i]$中的串的长度不超过 $\frac i2$。
为了让字符串既是后缀又是前缀，除了串本身以外，最长的字符串就是 $next[i]$表示的串。若 $next[i]$的长度已经不超过 $i$的一半，则 $num[i]$就是 $num'[next[i]]$。若 $next[i]$仍不满足要求，根据前面的平移操作和递推，下一个最长的串的长度就应该是 $next[next[i]]$，一直回退下去，直到串的长度为满足条件的最大的长度 $j$。然后就有
$num[i]=num'[j]$

不难得到下面的代码：

for(int i=1;i<=n;i++){
  int j=next[i];
  while(j*2>i)j=next[j];
  num[i]=num'[j];
}

然而这个做法的时间复杂度是 $O(n^2)$。不妨试试样例的第一组数据： $aaaaa$。
造成如此高的复杂度的原因是 $next[i]$的规模是 $O(n)$的，最坏情况下对于每个 $i$， $j$都要减小 $O(n)$次，然后就爆了。

考虑用KMP求 $next$数组的过程：

for(int i=2,j=0;i<=len;i++){
  while(j&&t[j+1]!=t[i])j=fail[j];
  if(t[j+1]==t[i])j++;fail[i]=j;
}

KMP的时间复杂度是 $O(n)$的，因为 $i$从 $1$枚举到 $n$，增加 $O(n)$次；除了if语句中 $j$增加 $O(n)$次，其余时间 $j$都在减少，所以 $j$减少也不会超过 $O(n)$次。

于是可以把上面的暴力修改成下面的代码：

for(int i=2,j=0;i<=len;i++){
  while(j&&t[j+1]!=t[i])j=fail[j];
  if(t[j+1]==t[i])j++;
  while(j*2>i)j=fail[j];
  num[i]=num'[j];
}

几个问题：

时间复杂度？

$i$的枚举规模仍然是 $O(n)$， $j$还是在if语句处增加 $O(n)$次，因此时间复杂度为 $O(n)$。

$j$是否是可行解（是否存在长度为 $j$的串既是后缀又是前缀）？

$j$是由 $next$数组递推得到的，根据前面的递推， $j$是可行解。

$j$是否是最优解（ $j$是否是不超过 $\frac i2$的最大可行解）？

由于 $j$在当前的 $i$时要回退减小（第二个while语句）， $i$增加 $1$时， $j$似乎就有可能不是最大的可行解。
根据前面得知， $j$从 $next[i]$处回退一定不会错过最优解。若 $j$不继续回退，得到的 $j$就是 $next[i]$，不会错过最优解。现在 $j$要继续回退，轮到下一个 $i'=i+1$时，为了当前子串的长度为 $j'$的前后缀匹配， $j$原本就要回退（第一个while语句）。

• 若此次回退后 $j'$没有超过 $\frac{i'}2$，就有 $j'\leqslant\frac{i+1}2$。
  • $i$为偶数时， $j'\leqslant\frac i2$，因此在这之前把 $j$回退到 $\frac i2$就没有什么影响。
  • $i$为奇数时，
    • 若 $j'\leqslant\frac{i-1}2$，则在这之前把 $j$回退到 $\frac i2$也没有什么影响。
    • 若 $j'=\frac{i+1}2$，说明可以匹配的最长的前后缀刚好是子串的一半，根据KMP算法的原理，此时已匹配的长度 $j'$一定是由上一次的 $j$加 $1$得来的。于是 $j=\frac{i-1}2$，同样没有影响。
• 若此次回退后 $j'$超过了 $\frac{i'}2$，为了得到 $num[i']$的值， $j'$仍然要回退，回到上一种情况。