Splay之萌新版

【学习笔记】平衡树 - $\mathrm{Splay}$

$\mathrm{I}$ 平衡树

• 平衡树是什么？顾名思义就是左儿子与右儿子相平衡的 （即左儿子的权值小于根节点，右儿子大于根节点的权值）
• 
• 而 $splay$也是利用这样的性质来进行旋转的

$\mathrm{II}$ $\mathrm{Splay}$

$2.1$ $\mathrm{rotate}$ 操作

• 这个操作比较重要，也比较麻烦。我们可以看图理解。

• 首先我们建立一颗平衡树（下图
  

• 我们设 $10$那个电 $z$， $8$那个电 $y$， $7$那个电 $x$。那么 $z,y$分别是 $y,x$的父亲。我们现在想要把 $x$旋到 $y$上。那么我们会得到的图：

• 首先 $x$成为 $z$的左儿子，又发现 $y$成了 $x$的右儿子（依然合法，平衡树的性质）。如果 $x$本身有右儿子那么就会成为 $y$的左儿子。于是我们就有了下面的代码：

inline void rotate(int x)
{
	int y=t[x].fa;//x的父亲
	int z=t[y].fa;//y的父亲
	int k=t[y].ch[1]==x;//x是y的右儿子
	t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;//如果z原来y变成x
	t[x].fa=z;
	t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];//x的与x原来在y的相对的那个儿子变成y的儿子
	t[t[x].ch[k^1]].fa=y;
	t[x].ch[k^1]=y;
	t[y].fa=x;//y的父亲是x
}

$2.2$ $\mathrm{Splay}$ 操作

• 这个操作就是把一个节点旋到根节点的操作（难道只要简单地旋两次就行了
• 这个操作我们分两种情况讨论
  • $x,y$分别为 $y,z$的同一方向上的儿子
  • $x,y$不为 $y,z$的同一方向上的儿子
• 那么我们大力发现：对于情况一我们先旋 $y$再旋 $x$，对于情况二我们直接旋两次 $x$（不理解可以手动滑稽一下
• 于是我们就有了下面的代码：

inline void SPlay(int x,int p)
{
	while(t[x].fa!=p)
	{
		int y=t[x].fa;
		int z=t[y].fa;
		if(z!=p) 
			(t[z].ch[0]==y)^(t[y].ch[0]==x)?rotate(x):rotate(y);
			//讨论是不是同属一个方向上的儿子，然后讨论是那种旋转方式
		rotate(x);
	}
	if(!p) root=x;//如果旋到的是根那么就更行根
}

$2.3$ $\mathrm{find}$ 操作

• $\mathrm{find}$顾名思义就是寻找那个元素具体的位置
• 我们考虑平衡树的性质：越往左越小，越往右越大。于是我们只要不停地向左（如果要找的数更加小）向右递归找答案就行了。找到后把他 $splay$到根节点。有点类似与二分查找操作。
• 复杂度 $O(\log n)$
• 于是我们就有了下面的代码：

inline void Find(int x)
{
	int u=root;
	if(!u) return;
	while(t[u].ch[x>t[u].val]&&x!=t[u].val) //一直找不到向左向右递归
		u=t[u].ch[x>t[u].val];
	SPlay(u,0);//再旋到根节点
}

$2.4$ $\mathrm{Insert}$ 操作

• 就是加入一个元素 $x$的操作。
• 其实这个操作和上面那个差不多。就是先找在树上有没有这个节点，如果本身就有我们只要对那个点进行操作。否则新开一个节点来存储信息。最后再把这个点 $splay$到根就可以了。注意在向下寻找的过程中始终记录他的父亲是什么。
• 于是我们就有了下面的代码：

inline void insert(int x)
{
	int u=root,ff=0;
	while(u&&t[u].val!=x)
	{
		ff=u;//记录父亲
		u=t[u].ch[t[u].val<x];//寻找
	}
	if(u) t[u].cnt++;//如果找到了那么就在原来基础上更新
	else 
	{
		u=++tot;//新开一个节点
		if(ff) t[ff].ch[x>t[ff].val]=u;
		t[tot].ch[1]=t[tot].ch[0]=0;
		t[tot].fa=ff;
		t[tot].siz=1;
		t[tot].cnt=1;
		t[tot].val=x;//对那个各个信息节点进行修改
	}
	SPlay(u,0);//再旋到根
}

$2.5$ $\mathrm{Next}$ 操作

• 其实就是寻找某个元素的前驱以及后继
• 我们以前驱为例来介绍一下：先确定前驱比他小，所以在左子树上。然后他的前驱是左子树中最大的值所以一直跳右结点就可以了。
• 后继同理不在赘述
• 于是我们就有了下面的代码：

inline int Next(int x,int f)//前驱0
{
	Find(x);//先寻找
	int u=root;
	if(t[u].val>x&&f) return u;//是不是前驱/后继
	if(t[u].val<x&&!f) return u; 
	u=t[u].ch[f];
	while(t[u].ch[f^1]) u=t[u].ch[f^1];//要反过来，因为前缀是在右子树里寻找最大的，后继是在左子树寻找最小的
	return u;
}

$2.6$ $\mathrm{delete}$操作

• 删除操作吗。。。真的不太想说了。
• 我们首先找到这个树的前驱把他旋到根，再找到后继节点旋到根节点下面。于是在右子树比后继小的且比前驱大的有且仅有当前数。然后再看这个节点的数量来处理就行了。如果只有 $1$个直接根除。否则再把那个点（后继的左儿子）旋到根节点。
• 于是我们就有了下面的代码：

inline void Del(int x)
{
	int las=Next(x,0);
	int nex=Next(x,1);//前驱后继
	SPlay(las,0);
	SPlay(nex,las);//旋丫旋
	int del=t[nex].ch[0];//那个点就是后继的左儿子
	if(t[del].cnt>1)
	{
		t[del].cnt--;
		SPlay(del,0);//旋到根节点
	}
	else t[nex].ch[0]=0;//直接删除
}