题解 - CF613E Puzzle Lover

$\mathrm{CF613E\ Puzzle \ Lover}$

• 头铁地去做一道 $*3200$的题，没想到还是比较好想~~（看题解~~

题目意思

• 题目传送门

• 就是给你一个 $2\times n$的字符矩阵，以及给你个 $m$的字符串 $t$。问你有多少种方案使得路径上的字符连接起来的字符串为 $t$（每次可以往上下左右走，但不能走到同一格）。答案对 $1e9+7$取模

• $n,m\leq 2e3$

$\mathrm{Sol}$

• 前置知识：字符串哈希+DP，是不是 $PJ$内容啊。

• 我们设这条路径的端点为 $s,t$。那么一条 $s\to t$的路径样子如下：
  

• 部分一: 从 $s$往左走，再往右绕回来

• 部分二: 上下往右边移动

• 部分三: 绕道 $t$的右边再绕回来

• 然后我们对于 $1,3$部分字符串哈希。这个很简单，即枚举终点用哈希判断是否合法。以及为中间部分做 $dp$预处理。不在过多讲。

• 关键是中间反复横跳的过程，设 $f_{i,j,k}$表示到 $(i,j)$配对到 $t$中第 $k$个字符，从 $f_{i,j-1,k-1}$转移过来。同理 $g_{i,j,k}$表示到 $(i,j)$配对到 $t$中第 $k$个字符，从 $g_{3-i,j,k-1}$转移过来。（ $3-i$即在第一行与第二行反复横跳的简单转换）。

• 那么转移就很简单（不会往回走）。所以 $f,g$之间相互更新即可。具体的：

  • $f_{i,j+1,k+1}=\sum g_{i,j,k}[j\leq n,ch_{i,j+1}=t_{k+1}]$
  • $f_{i,j+1,k+1}=\sum f_{i,j,k}[j\leq n,ch_{i,j+1}=t_{k+1}]$
  • $g_{3-i,j,k+1}=\sum f_{i,j,k}[ch_{3-i,j}=t_{k+1}]$

• 对于第三部分我们来统计答案。我们枚举终点算出起点，那么 $ans=\sum f_{i,j-1,m-1}+\sum g_{i,j-1,m-1}$（为什么是 $j-1$因为第二部分的结束的那一列加一也是 $t$所在的那一列）。

• 我们还存在 $s,t$在同一列的情况，此时把字符串翻转的答案是重的所以要删掉。同时也要加上这种情况的贡献（即代码中的 $gs$，此时不存在第二部分的贡献）

• 于是我们做出了一道 $3200$的题。

$\mathrm{Code}$

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define int long long
using namespace std;

inline int read()
{
	int sum=0,ff=1; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
		if(ch=='-') ff=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
		sum=sum*10+(ch^48),ch=getchar();
	return sum*ff;
}

const int N=2005;
const int mo=1e9+7;
const int base=131;

char ch[3][N],t[N];
int Hash1[3][N],Hash2[3][N],Hasht[N],bin[N];
int n,m,f[3][N][N],g[3][N][N],ans,gs;

inline int get1(int l,int r,int id)
{
	return Hash1[id][r]-Hash1[id][l-1]*bin[r-l+1];
}

inline int get2(int l,int r,int id)
{
	return Hash2[id][l]-Hash2[id][r+1]*bin[r-l+1];
}

inline void Add(int &x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=mo) x-=mo;
}

inline int merge(int H1,int H2,int len)
{
	return H2+H1*bin[len];
}

inline void dp()
{
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(g,0,sizeof(g));
	for ( int i=1;i<=m;i++ ) 
		Hasht[i]=Hasht[i-1]*base+(t[i]-'a'+1);
	for ( int i=1;i<=2;i++ ) 
		for ( int j=1;j<=n;j++ )
			for ( int k=j;k>=1;k-- )
			{
				int len=2*(j-k+1);
				if(len>m) continue;
				int HA=get1(k,j,i);
				int HB=get2(k,j,3-i);
				int HH=Hasht[len];
				if(merge(HB,HA,j-k+1)==HH) 
				{
					if(len==m) gs++;
					else g[i][j][len]=1;
				}
			}
	for ( int i=1;i<=2;i++ ) 
		for ( int j=1;j<=n;j++ )
			if(ch[i][j]==t[1]) g[i][j][1]=1;
	for ( int i=m;i>=1;i-- ) 
		Hasht[i]=Hasht[i+1]*base+(t[i]-'a'+1);
	for ( int k=1;k<m;k++ ) 
		for ( int j=1;j<=n;j++ ) 
			for ( int i=1;i<=2;i++ ) 
			{
				if(g[i][j][k]) 
					if(j<n&&ch[i][j+1]==t[k+1]) 
						Add(f[i][j+1][k+1],g[i][j][k]);
				if(f[i][j][k]) 
				{
					if(j<n&&ch[i][j+1]==t[k+1]) 
						Add(f[i][j+1][k+1],f[i][j][k]);
					if(ch[3-i][j]==t[k+1]) 
						Add(g[3-i][j][k+1],f[i][j][k]);
				}
			}
	for ( int i=1;i<=2;i++ ) 
		for ( int j=1;j<=n;j++ ) 
		{
			if(ch[i][j]==t[m]) 
			{
				if(m==1) Add(ans,1);
				Add(ans,f[i][j-1][m-1]);
				Add(ans,g[i][j-1][m-1]);
			}
			for ( int k=j;k<=n;k++ )
			{
				int len=(k-j+1)*2;
				if(len>m) continue;
				int HA=get1(j,k,3-i);
				int HB=get2(j,k,i);
				int HH=Hasht[m-len+1];
				if(merge(HA,HB,k-j+1)==HH)
				{
					if(len==m&&m!=2) gs++;
					else 
					{
						Add(ans,f[i][j-1][m-len]);
						Add(ans,g[i][j-1][m-len]);
					}
				}
			}
		}
}
					
signed main()
{
	scanf("%s",ch[1]+1);
	scanf("%s",ch[2]+1);
	n=strlen(ch[1]+1);
	scanf("%s",t+1);
	m=strlen(t+1);
	bin[0]=1;
	int Lim=max(n,m);
	for ( int i=1;i<=Lim;i++ ) 
		bin[i]=bin[i-1]*base; 
	for ( int i=1;i<=2;i++ ) 
		for ( int j=1;j<=n;j++ ) 
			Hash1[i][j]=Hash1[i][j-1]*base+(ch[i][j]-'a'+1);
	for ( int i=1;i<=2;i++ ) 
		for ( int j=n;j>=1;j-- ) 
			Hash2[i][j]=Hash2[i][j+1]*base+(ch[i][j]-'a'+1);
	dp();
	reverse(t+1,t+m+1);
	dp();
	Add(ans,gs/2);
	if(m==1) ans/=2;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}