CodeForces - 1325F Ehabs Last Theorem(dfs树找最大环)

题目大意：给出一个由 n 个结点和 m 条边构成的无向图，再给出一个 k ，需要在图中完成下面任意一种操作：

找到一个大小恰好为 $\lceil\sqrt{n}\rceil$ 的独立集
找到一个大小至少为 $\lceil\sqrt{n}\rceil$ 的环

题目分析：看了 dls 的视频后感觉这个题目也就那回事，主要是思路 + 证明比较难想，有了结论后实现倒是非常简单

首先证明一下一定有解：假设图中存在一个长度大于等于 $\lceil\sqrt{n}\rceil$ 的环，那么显然满足情况 2 ，直接输出即可

如果图中不存在长度大于等于 $\lceil\sqrt{n}\rceil$ 的环，也就是说在 dfs 树上的任意两个点 x , y 如果距离大于等于 $\lceil\sqrt{n}\rceil -1$ 的话，一定是没有非树边相连的，这样我们就可以在取独立集时，每次都取相距恰好为 $\lceil\sqrt{n}\rceil -1$ 的点，换句话说，这些点的深度 deep 在对 $\lceil\sqrt{n}\rceil -1$ 取模后都是相同的，根据鸽巢原理，一共有 $\lceil\sqrt{n}\rceil -1$ 组，一共有 n 个点，n 个点分成 $\lceil\sqrt{n}\rceil -1$ 组，即下面的这个公式显然成立， $\frac{n}{\lceil\sqrt{n}\rceil -1}>=\lceil\sqrt{n}\rceil$ ，换句话说，肯定有一组中的个数是大于等于 $\lceil\sqrt{n}\rceil$ 的，也就满足了第一种情况，证毕

证明结束后，我们就可以在dfs树上找到最大环，然后分类讨论了

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
using namespace std;

typedef long long LL;

typedef unsigned long long ull;

const LL inf=0x3f3f3f3f;

const int N=2e5+100;

int n,m,d,deep[N],pre[N],cnt[N];

vector<int>node[N];

void dfs(int u,int fa,int dep)
{
	deep[u]=dep;
	pre[u]=fa;
	for(auto v:node[u])
	{
		if(v==fa)
			continue;
		if(deep[v]!=0)
		{
			if(deep[u]-deep[v]+1>=0&&deep[u]-deep[v]+1>=d)
			{
				puts("2");
				printf("%d\n",deep[u]-deep[v]+1);
				int num=deep[u]-deep[v]+1,pos=u;
				while(num--)
				{
					printf("%d ",pos);
					pos=pre[pos];
				}
				exit(0);
			}
		}
		else
			dfs(v,u,dep+1);
	}
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  freopen("output.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	d=sqrt(n);
	if(d*d<n)
		d++;
	while(m--)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		node[u].push_back(v);
		node[v].push_back(u);
	}
	dfs(1,-1,1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cnt[deep[i]%(d-1)]++;
	int mark=max_element(cnt,cnt+d-1)-cnt;
	vector<int>ans;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(deep[i]%(d-1)==mark)
			ans.push_back(i);
	puts("1");
	for(int i=0;i<d;i++)
		printf("%d ",ans[i]);











    return 0;
}

CodeForces - 1325F Ehabs Last Theorem(dfs树找最大环)

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