高斯金字塔与拉普拉斯金字塔
高斯金字塔
一个下采样的序列，例如原始尺寸是512x512，那么一个图像序列，尺寸例如，512，256，128，...，4，2.这样一些尺寸的图像序列构成了高斯金字塔。这样一个序列的存储空间最大为原图像的4/3，因为每个图像是前一个层级的1/4尺寸，那么等比数列求和就好了。一个金字塔的例子，如下图所示。
高斯金字塔是怎么构建的呢？首先对原图进行高斯平滑然后下采样，然后再平滑再下采样...，最后构成一个图像序列。这里有一点，对图像进行平滑，就已经损失了一些信息，所以我们就没必要存储原尺寸了，对其进行下采样然后存储就好了。
- 更高level的图像（小）更加平滑。
- 更高level的图像存储原图中更加平坦的部分。
通过平滑我们损失了一些细节（可能是边缘），所以从高level无法还原出原图像，那我们能做一个无损信息的金字塔吗？可以，拉普拉斯金字塔。
拉普拉斯金字塔
对于每一层来说，存储图像和其平滑后图像的差值，最高层保留小图，用来恢复图像，如图所示
例如对于拉普拉斯金字塔的第0层（或者1层，就是最开始的层），用原图减去原图高斯平滑后的图像（此时还没有下采样，尺寸和原图一致）就得到了拉普拉斯金字塔的第0层。拉普拉斯金字塔的构建方式如下图所示，在拉普拉斯金字塔的构建过程中，我们也自然的得到了高斯金字塔（因为要平滑、下采样）
那我们如何利用拉普拉斯金字塔来恢复图像呢？如下图所示，对于最后保留的小图，上采样然后和拉普斯金字塔的差分图像加起来，然后重复这个过程，就逐步恢复了原始图像。
拉普拉斯金字塔和高斯金字塔比起来，存储的都是差分图像（除了最后用来恢复图像的小图），差分图像的特点就是大部分都是相同的数值，因此应该可以很好的对差分图像进行压缩。（本身金字塔没有压缩图像，反而增加了存储空间的消耗，但是差分图像应该比较容易进行压缩，而且效果很好。）那为什么叫拉普拉斯金字塔呢？因为差分高斯滤波器可以近似为拉普拉斯滤波器。
奈奎斯特定理
奈奎斯特采样定理解释了采样率和所测信号频率之间的关系。 阐述了采样率\(f_s\)必须大于被测信号感兴趣最高频率分量的两倍。 该频率通常被称为奈奎斯特频率\(f_{max}\)。
采样频率要大于两倍的信号频率，也就能通过信号线性插值较好的恢复出原信号。
那么高斯金字塔，通过平滑，相当于去掉了一些高频的信号，相当与降低了\(f_{max}\)的值，所以\(f_S\)可以不用那么大，也就是可以少采样一些，也没关系，不会出现走样混叠的情况。所以平滑后下采样可以解决走样混叠的问题。
图像金字塔的应用
例如
- 图像压缩
- 多尺度纹理映射（图形学中的mipmap）
- 图像混合
- 图像去噪
- 多尺度图像配准
- 等等
参考
- [1]CMU计算机视觉lecture3