Prim算法是用来干什么的？ 用于生成最小生成树
那么最小生成树又是什么？ 最小生成树的定义：连通图G上的一棵各边权值之和最小的带权生成树
算法思想：
假设G=（V, E）是一个具有n个顶点的连通图，其中,V是T的顶点集，E是G中边的集合。T=（U,TE）是一个图，其中,U是T的顶点集，TE是T的边集。刚开始时，U和TE的初值均为空集。
（1）首先从V中任取一个顶点，把它并入顶点集U中。
（2）然后从不属于U中的顶点，但与U中顶点直接相连的所有边中，找一条权值最小的边，将这条边并入TE中，并将相应的顶点并入U中。
（3）不断重复(2)，直到U=V，TE含有n-1条边，此时的T就是G的最小生成树。
算法的详细过程
举例：假设图G如下图所示
第1步：首先，我们可以从V中取0这个顶点，将它并入顶点集U中
第2步：符合条件的边有(0, 1) (0, 2) (0, 5),而在这些边中，边的最小权值是3，于是将(0, 5)并入边集TE中，将顶点5并入顶点集U中
第3步：符合条件的边有(0, 1) (0, 2) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4),而在这些边中，边的最小权值是1，于是将(5, 4)并入边集TE中，将顶点4并入顶点集U中
第4步：符合条件的边有(0, 1) (0, 2) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (4, 2) (4, 3),而在这些边中，边的最小权值是2，于是将(4, 3)并入边集TE中，将顶点3并入顶点集U中
第5步：符合条件的边有(0, 1) (0, 2) (5, 1) (5, 2) (4, 2) (3, 1),而在这些边中，边的最小权值是4，于是将(0, 2)并入边集TE中，将顶点2并入顶点集U中
第6步：符合条件的边有(0, 1) (5, 1) (3, 1),而在这些边中，边的最小权值是5，于是将(5, 1)并入边集TE中，将顶点1并入顶点集U中
当操作到第6步时，U=V，TE含有n-1条边，此时红线所画的图就是图G的最小生成树
核心代码
void Prim (int n, int cost[LEN][LEN])
{
int i, j, k;
int min;
int lowcost[LEN], closest[LEN];
for (j = 1; j < n; j++)
{
lowcost[j] = cost[0][j];
//将lowcost数组中各个元素设为从顶点0到各顶点的权值
closest[j] = 0;
//依附于该边的顶点为0
}
//将顶点0作为最小生成树的第一个结点
closest[0] = -1;
//表示顶点0已经并入集合U中
//下面的整个大的for循环刚好可以输出n-1条边，以及所对应边的权值
for (i = 1; i < n; i++)
{
min = M, k = i;
for (j = 0; j < n; j++)
{
if (closest[j] != -1 && lowcost[j] < min)
{
min = lowcost[j];
k = j;
}
}
//上面的for循环是为了求出符合条件，且权值最小的边所对应的数组坐标k
printf ("(%d, %d) 权值为：%d\n", closest[k], k, lowcost[k]);
closest[k] = -1;
//将顶点k并入集合U中
for (j = 0; j < n; j++)
{
if (closest[j] != -1 && cost[k][j] < lowcost[j])
{
lowcost[j] = cost[k][j];
closest[j] = k;
}
}
//上面的for循环是为了更新两个数组中的数据
}
}
辅助操作
从上面的核心代码，我们可以知道，为了实现Prim算法，需要设置两个辅助的一维数组lowcost和closest。其中数组lowcost用来保存符合条件的边的最小权值；数组closest用来保存依附在这条边且在集合U中的顶点
步骤：
（1）假设初始状态时，我们让0作为生成树根结点的顶点，接着令closest[0]=-1,它表示顶点0已经并入集合U中；令数组lowcost中的值是顶点0和其余各顶点所构成的边的权值（注意：不与顶点0直接相连的边的权值记为M，即初始为7,4,M,M,3）
（2）输出符合条件且权值最小的边，令lowcost[k]=1，（表示顶点k已经并入集合U中）然后更新数组lowcost和closest中的数据（由于顶点k并入集合U后，符合条件的边发生了变化，所以需要根据具体情况更新数组lowcost和closest中的）
（3）重复操作(2),直到数组closest中的值都为-1时结束
生成最小生成树中两个数组的变化如下表所示，读者可自己试一遍数，可以更好地理解这个算法哦
| [0] | [1] | [2] | [3] | [4] | [5] | V-U 集合 | U集合 | 生成树的边 | 边的权值 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (1) closest | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||
| lowcost | 7 | 4 | M | M | 3 | {1, 2, 3, 4, 5} | {0} | |||
| (2) closest | -1 | 5 | 0 | 5 | 5 | -1 | ||||
| lowcost | 5 | 4 | 6 | 1 | 3 | {1, 2, 3, 4} | {0,5} | (0, 5) | 3 | |
| (3) closest | -1 | 5 | 0 | 4 | -1 | -1 | ||||
| lowcost | 5 | 4 | 2 | 1 | 3 | {1, 2, 3} | {0,5,4} | (5, 4) | 1 | |
| (4) closest | -1 | 5 | 0 | -1 | -1 | -1 | ||||
| lowcost | 5 | 4 | 2 | 1 | 3 | {1, 2} | {0,5,4,3} | (4, 3) | 2 | |
| (5) closest | -1 | 5 | -1 | -1 | -1 | -1 | ||||
| lowcost | 5 | 4 | 2 | 1 | 3 | {1} | {0,5,4,3,2} | (0, 2) | 4 | |
| (5) closest | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | ||||
| lowcost | 5 | 4 | 2 | 1 | 3 | { } | {0,5,4,3,2,1} | (1, 5) | 5 |
源代码
# include <stdio.h>
# define M 999999
# define LEN 100
int CreateTu (int cost[LEN][LEN])
{
int n, e;
//n表示图的顶点，e表示图的边
int i, j;
int v1, v2, w;
printf ("请输入该图的顶点数：");
scanf ("%d", &n);
printf ("请输入该图的边数：");
scanf ("%d", &e);
for (i = 0; i < n; i++)
{
for ( j = 0; j < n; j++)
{
cost[i][j] = M;
}
}
//初始化数组元素的值
printf ("\n请依次输入顶点，顶点，两顶点所连成边的权值！！！");
printf ("(格式:顶点 顶点 权值)\n");
for (i = 0; i < e; i++)
{
printf ("v1, v2, w = ");
scanf ("%d %d %d", &v1, &v2, &w);
cost[v1][v2] = w;
cost[v2][v1] = w;
}
return n;
//返回顶点数
}
void Prim (int n, int cost[LEN][LEN])
{
int i, j, k;
int min;
int lowcost[LEN], closest[LEN];
for (j = 1; j < n; j++)
{
lowcost[j] = cost[0][j];
//将lowcost数组中各个元素设为从顶点0到各顶点的权值
closest[j] = 0;
//依附于该边的顶点为0
}
//将顶点0作为最小生成树的第一个结点
closest[0] = -1;
//表示顶点0已经并入集合U中
//下面的整个大的for循环刚好可以输出n-1条边，以及所对应边的权值
for (i = 1; i < n; i++)
{
min = M, k = i;
for (j = 0; j < n; j++)
{
if (closest[j] != -1 && lowcost[j] < min)
{
min = lowcost[j];
k = j;
}
}
//上面的for循环是为了求出符合条件，且权值最小的边所对应的数组坐标k
printf ("(%d, %d) 权值为：%d\n", closest[k], k, lowcost[k]);
closest[k] = -1;
//将顶点k并入集合U中
for (j = 0; j < n; j++)
{
if (closest[j] != -1 && cost[k][j] < lowcost[j])
{
lowcost[j] = cost[k][j];
closest[j] = k;
}
}
//上面的for循环是为了更新两个数组中的数据
}
}
int main (void)
{
int n;
int cost[LEN][LEN];
n = CreateTu (cost);
printf ("\n最小生成树为：\n");
Prim (n, cost);
return 0;
}
运行结果
