杂题
\(T\) 次询问，每次给定 \(n,\ m\) ，定义一个 \(n\) 的排列的权值为满足 \(1,\ 2,\ \cdots,\ m\) 均在其中出现过的最短前缀长度，求 \(n\) 的所有排列的权值的期望\(\bmod 998244353\)
- \(T\leq10^7\)
- \(n,\ m\leq9\times10^8\)
做法一：
包含 \(1,\ 2,\ \cdots,\ m\) 的最短前缀长度等于 \(n-(不存在权值\ 1,\ 2,\ \cdots,\ m\ 的最长后缀长度)\) ，这个后缀长度期望等于 \(\displaystyle\sum_{i=m+1}^nP(这个数不出现在\ 1\cdots m\ 中的任意一个数前)\) ，即 \((n-m)\times\frac{1}{m+1}\) 。所以答案等于 \(n-\frac{n-m}{m+1}\)
做法二：
答案可以看做 \(\frac{\displaystyle\sum_{i=m}^ni\times\binom{n-m}{i-m}}{\displaystyle\binom nm}\) ，考虑先求出 \(\frac{\displaystyle\sum_{i=m}^n(n-i)\times\binom{n-m}{i-m}}{\displaystyle\binom nm}\) ，上面是一个组合恒等式
杂题
有 \(n\) 个元素 \(a_i\) 和 \(m\) 个不相同的盒子，你需要将 \(n\) 个元素放入盒子中，且每个盒子至少有一个元素。定义一种方案的权值为每个盒子内部元素的 \(\operatorname{and}\) 之和，问权值最大值与使得权值最大的分配方案数
\(n\leq10^5;\ a_i\leq10^9\)
考虑从高位到低位考虑，对于当前这一位 \(b\) ：
- 没有这一位为 \(1\) 的元素，这一位对权值和方案数均没有贡献
- 所有元素这一位均为 \(1\) ，这一位会对权值造成 \(k\times2^b\) 的贡献
- 这一位为 \(1\) 的元素个数 \(cnt<k\) ，对每一个这样的元素分配一个盒子，这些盒子不会再添加任何元素，对权值造成这些元素和的贡献，对方案数造成 \(A_{k}^{cnt}\) 的贡献，剩下的变成了一个子问题
- 否则，将这一位为 \(0\) 的所有元素 \(\operatorname{and}\) 起来，合并成一个新元素，这一位会对权值造成 \((k-1)\times2^b\) 的贡献，剩下的变成了一个子问题
递归完成后会剩下一些元素和 \(k'\) ，对方案数的贡献相当于有 \(n'\) 个互不相同的球放入 \(k'\) 个互不相同的盒子的方案数，可以容斥
杂题
给定 \(n\) 个串 \(s_i\) ，有 \(q\) 个询问，每次询问两个区间 \([l_1,\ r_1]\) 与 \([l_2,\ r_2]\) ，让你给这两个区间的字符串配对，使得每个字符串恰好和另一个区间的字符串一一匹配，我们称这组配对的价值为每组字符串最长公共后缀之和，而你想知道所有配对中最大的价值。
\(n,\ \displaystyle\sum s_i\leq10^4;\ q\leq5\times10^5\)
将两个区间的反串建出 trie ，答案是 \(\displaystyle\sum\min(c_{1,\ u},\ c_{2,\ u})\) 其中 \(c_{1,\ u},\ c_{2,\ u}\) 分别表示结束位置在 \(u\) 节点子树中的 \([l_1,\ r_1]\) 与 \([l_2,\ r_2]\) 中的串的出现次数
标算是四维莫队。。复杂度貌似是 \(O(nq^{\frac{3}{4}})\)
luogu5251 [LnOI2019]第二代图灵机
有 \(n\) 个位置， \(q\) 次操作， \(c\) 种颜色，初始给定每个位置权值 \(a_i\) 与颜色 \(b_i\in[1,\ c]\)
共有四种操作：
- 修改一个位置的权值
- 将一段区间的颜色赋值为 \(x\)
- 询问区间中包含 \(c\) 种颜色，权值和最小的子区间的权值和
- 询问区间中没有重复颜色，权值和最大的子区间的权值和
保证数据随机， \(n, q\leq10^5;\ c\leq100\)
用珂朵莉树维护即可，两个询问可以直接双指针，时间复杂度 \(O(n\log n+nc)\)
有 \(n\) 个位置，每个位置有权值和颜色， \(q\) 次询问区间中没有重复颜色权值和最大的子区间的权值和
对于每个位置 \(i\) ，求出最大的 \(pos_i\) 满足 \([i,\ pos_i]\) 没有重复颜色。将这些 \([i,\ pos_i]\) 称为特殊区间
对于询问 \([l,\ r]\) ，首先考虑严格包含于 \([l,\ r]\) 的特殊区间的贡献，二维数点统计，否则，答案一定是区间的一段前缀或后缀，预处理即可
貌似也可以离线后拿数据结构维护
hdu6326 Monster Hunter
给定一棵以 \(1\) 为根的树，所有非根节点上都有一个怪物，这个怪物的属性是二元组 \((a_i,\ b_i)\)
你需要击败所有怪物。你初始时在 \(1\) 节点上，只有击败了 \(u\) 节点的父亲节点上的怪物才能挑战 \(u\) 节点上的怪物。对于怪物 \(u\) ，挑战它会使得你的血量减少 \(a_u\) ，战胜它后会使得你的血量增加 \(b_i\) ，在任意时刻你的血量都不能低于 \(0\) 。
你需要求出你初始时最少需要多少血量，才存在一种合法的击败所有怪物的顺序
\(n\leq10^5,\ \displaystyle\sum n\leq10^6\)
考虑没有树的限制怎么做
将怪物分为两种： \(a_i\leq b_i\) 与 \(a_i>b_i\)
显然你会按照 \(a_i\) 升序击败所有 \(a_i\leq b_i\) 的怪物
对于满足 \(a_i>b_i,\ a_j>b_j\) 的怪物 \(i,\ j\) ，如果 \(i\) 在 \(j\) 之前被挑战，需要的血量至少为 \(\max(a_i,\ a_i+a_j-b_i)\) ；否则，至少需要 \(\max(a_j,\ a_i+a_j-b_j)\)
对于 \(a_i+\max(a_j-b_i,\ 0),\ a_j+\max(a_i-b_j,\ 0)\) ：
- 若 \(a_j<b_i,\ a_i<b_j\) ，与 \(a_i>b_i,\ a_j>b_j\) 矛盾
- 若 \(a_j<b_i,\ a_i\ge b_j\) ，则上式等于 \(a_i,\ a_i+a_j-b_j\) ， \(i\) 排在前面更优秀（此时 \(b_i>b_j\)）
- 若 \(a_j\ge b_i,\ a_i<b_j\) ，同理， \(j\) 排在前面更优秀（此时 \(b_j>b_i\)）
- 若 \(a_j\ge b_i,\ a_i\ge b_j\) ，则上式等于 \(a_i+a_j-b_i,\ a_i+a_j-b_j\) ，选择 \(b\) 较大的一项更优秀
综上所述，对于 \(a_u>b_u\) 的怪物，按 \(b\) 降序选择更优秀
如果有了树的限制，对于当前不考虑树的限制下最优秀的点 \(u\) ，显然它的父节点 \(v\) 被选择后，下一次操作一定会选择节点 \(u\) ，因此可以将 \(u\) 节点的信息合并到 \(v\) 节点上
\(a_v'=\max(a_v,\ a_u+a_v-b_v)\)
若 \(\max(a_v,\ a_u+a_v-b_v)=a_v\) ，则 \(b_v'=b_v-a_u+b_u\) ；否则， \(b_v'=b_v\)
用堆维护节点权值即可
杂题
给定两个括号序列 \(A,\ B\) ，将它们归并成序列 \(C\) ，你可以决定归并顺序，问最少在 \(C\) 中添加多少个括号，使得 \(C\) 合法
\(n=|A|,\ m=|B|\leq10^6\)
将左括号 '(' 看做 \((0,\ 1)\) ，将右括号 ')' 看做 \((1,\ 0)\) ，将 \(A,\ B\) 分别建成一条链，再将 \(A_1,\ B_1\) 与新建虚点 \(0\) 连接，使用上一道题的做法将树合并，设合并完成后整棵树得到权值 \((a,\ b)\) ， \(a\) 相当于将 \(C\) 所有可配对括号删掉后前缀右括号的数量， \(b\) 相当于将 \(C\) 所有可配对括号删掉后后缀左括号的数量，因此答案即为 \(a+b\) ，时间复杂度 \(O(n\log n)\)
记点 \(i\) 的权值 \(val_i\) 为 \((a<b?n+m-a:b)\) ，若点 \(u\) 被合并到了点 \(v\) ，有结论 \(val_v'\leq val_u\)
证明：
开个桶替代堆即可，时间复杂度 \(O(n)\)
luogu6584 重拳出击
给定一棵 \(n\) 个点，边权为 \(1\) 的树，树上有 \(m\) 个 Youyou
初始时，小 Z 在 \(x\) 号节点上，并且有一把射程为 \(k\) 的枪。
因为小 Z 技术精湛，所以 Youyou 一打就死，而小 Z 永远不会死掉。
小 Z 和 Youyou 都按回合行动，在每一回合中，按照下面的顺序行动：
- 回合计数器 \(+1\)（初始为 \(0\) ）。
- 小 Z 可以用枪射死与小 Z 树上距离小于等于 \(k\) 的所有 Youyou。
- 如果所有 Youyou 都被消灭了，游戏结束，这时回合计数器的值就是小 Z 用的回合数。
- 小 Z 可以选择沿着一条边，移动到任意相邻节点，也可以选择不动。
- 所有 Youyou 都会沿着他和小 Z 的简单路径向小 Z 移动一条边的距离。如果此时他们在同一个节点，则不动。
小 Z 需要求出消灭所有敌人需要的最小回合数
\(n,\ m\leq4\times10^5\)
一定存在一种最优决策使得小 Z 不访问重复节点
因此枚举小 Z 最终停在树上的哪一个节点，用 线段树 / 换根dp 求出这个点到所有点的距离的最大值，即可统计答案
CF1370E Binary Subsequence Rotation
给定两个 \(01\) 串 \(S,\ T\) ，定义一次对 \(S\) 的操作为，选择 \(S\) 的一个子序列，将这个子序列内的元素顺时针旋转一次，即 \(a_1'=a_k,\ a_2'=a_1,\ \cdots,\ a_k'=a_{k-1}\)
求最少的操作次数使得将 \(S\) 变为 \(T\) ， \(|S|=|T|=n\leq10^6\)
贪心地考虑，首先不用考虑 \(S_i=T_i\) 的位置，其次，会被操作的子序列一定形如 \(01010\cdots\) 或 \(10101\cdots\) ，因此暴力模拟即可
如果记序列 \(a_i=\begin{cases}0&(S_i=T_i)\\1&(S_i=0,\ T_i=1)\\-1&(S_i=1,\ T_i=0)\end{cases}\) ，则答案等于 \(\displaystyle\max_{1\leq l\leq r\leq n}\{|\displaystyle\sum_{i=l}^ra_i|\}\)
证明：之后填坑（雾）
CF1370F2 The Hidden Pair (Hard Version)
交互题， \(T\) 组数据
给定一棵 \(n\) 个点的树，有两个既定的未知节点 \(u,\ v\) ，你每次可以向交互器询问 \(\{1,\ 2,\ \cdots,\ n\}\) 的一个子集 \(S\) ，交互器会返回 \(d=\displaystyle\min_{x\in S}\{dis(x,\ u)+dis(x,\ v)\}\) ，和 \(d\) 对应的 \(x\) ，其中 \(dis(x,\ y)\) 表示树上 \(x,\ y\) 之间的路径的边数
F1：你需要在 \(14\) 次询问内求出 \(u,\ v\)
F2：你需要在 \(11\) 次询问内求出 \(u,\ v\)
\(T\leq10;\ n\leq2000\)
先询问 \(\{1,\ 2,\ \cdots,\ n\}\) 全集，会得到路径 \(u,\ v\) 上的一个点 \(rt\) 和长度 \(len\)
以 \(rt\) 为根，考虑二分 \(u\) 的深度（假设 \(dep_u>dep_v\) ， \(dep_{rt}=0\) ），对于二分中点 \(mid\) ，将 \(\{x\ |\ dep_x=mid\}\) 丢进询问，若 \(dep_u\ge mid\) ，则返回的 \(d=len\) ，否则返回的 \(d>len\)
这样可以求出 \(u\) ，只需要再询问一次 \(\{x\ |\ dep_x=len-dep_u\}\) 就可以求出 \(v\)
这样能够通过 F1 ，可以把二分的初始上界设为 \(l=\lceil\frac{len}{2}\rceil,\ r=\min(len,\ \max\{dep_i\})\) ，再注意一下二分姿势即可通过 F2