这份随笔是对斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用 的学习笔记。
信号的周期化
我们希望建立的数学模型具有相当的普遍性，但并非所有的现象都是周期性的，实际的信号，最终都会结束，而 sin 和 cos 是无始无终的，永远持续下去。比如下图，信号只有在一段时间内的值非零，其余时间都是零。
解决方法是，我们可以通过重复这个图形，把信号延申，使其具有时间上的周期性，即使我们只对其中一部分感兴趣，但对于数学分析，如果信号具有周期性，那他的性质对所有部分都适应。一般我们把这种方法叫做 信号的周期化。
我们可以利用这种思想来研究非周期信号。
假定周期
为了方便讨论，我们给周期现象假定周期为1，即
\[f ( t + 1 ) = f ( t ) \]
对于我们的数学模型，也使其周期为1，可以得到 sin(2πt) 与 cos(2πt)。
结论
我们可以使用 sin(2πt) 与 cos(2πt) 的组合来表示一般的周期为1的信号。
一个周期函数，包含多个频率成分
sin(2πt) 的最小正周期为 1，频率为 1，在1s内重复 1 次
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sin(4πt) 的最小正周期为 1/2，频率为 2，在1s内重复 2 次
sin(6πt) 的最小正周期为 1/3，频率为 3，在1s内重复 3 次
但 1 都是他们的周期（比如sin(6πt) 把 3 次重复图形看成 1 次重复的图形）
把他们加起来会怎么样？也就是 f(t)= sin(2πt) + sin(4πt) +sin(6πt) ,我们会得到
和式的周期是 1 .因为只有在最长周期的频率成分重复时，整个和式信号才重复一次。
这就是为什么一个周期，包含多个频率成分。而且，我们不单单可以改变频率，也可以改变振幅和相位。
结论：一个复杂的周期为1的信号，可以通过先变换正弦函数或余弦函数的频率，振幅，相位，然后相加获得。
即
\[f(t)=\sum _{k=1}^n \sin A_k \left(2 \pi k t+\varphi _k\right) \]
其中，k是正整数，k=1的频率成分叫做基波，k>1的频率成分叫做谐波。
正余弦形式
运用和角公式化成正余弦形式
\[\sin \left(\varphi _k+2 \text{k$\pi $t}\right)=cos (2 \text{k$\pi $t}) \sin (\varphi _k)+\sin (2 \pi k t) \cos(\varphi _k) \]
其中，\(sin(\varphi _k)\) 和 \(cos(\varphi _k)\) 是常数，所以可以得到我们常见的三角函数和式的形式：
\[f(t)=\sum _{k=1}^n \left(a_k\cos (2 \pi k t)+b_k\sin (2 \pi k t)\right)\tag{1} \]
\(a_k\) 和 \(b_k\) 和 振幅 A 有关。
这两种形式是等价的。
加上常数项\(\frac{a_0}{2}\)来表示其中不变的部分（为什么是\(\frac{a_0}{2}\)？，这只是另一种表达形式而已，方便计算）：
\[f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n \left( a_k\cos (2 \pi k t)+b_k\sin (2 \pi k t)\right) \]
\(\frac{a_0}{2}\)在电子电力应用中，被称为直流成分。
指数形式
为了方便计算，我们在运算中，经常用的其实是指数形式。
根据欧拉公式，
\[e^{2 \pi i k t}=\cos (2 \pi k t) +i sin(2 \pi \text{kt}) \ \]
其中，i=\(\sqrt{-1}\)
得
\[\cos (2 \pi k t)=\frac{1}{2} \left(e^{2 \pi i k t}+e^{-2 \pi i k t}\right) \]
\[\sin (2 \pi k t)=\frac{1}{2i} \left(e^{2 \pi i k t}-e^{-2 \pi i k t}\right) \]
带入前面的三角函数形式的和式，
\[\begin{align} &\ a_k cos (2 \pi k t)+\ b_k sin (2 \pi k t)\\ =&\frac{a_{k*}(e^{-2 \pi i k t}+e^{2 \pi i k t})}{2}+\frac{b_{k*}(e^{2 \pi i k t}-e^{-2 \pi i k t})}{2}\\ =&\frac{1}{2} \left(a_k e^{-2 \pi i k t}+a_k e^{2 \pi i k t}\right)+\frac{1}{2} \left(b_k e^{2 \pi i k t}-b_k e^{-2 \pi i k t}\right)\\ =&\frac{1}{2} \left(a_k e^{-2 \pi i k t}-b_k e^{-2 \pi i k t}\right)+\frac{1}{2} \left(a_k e^{2 \pi i k t}+b_k e^{2 \pi i k t}\right)\\ =&\frac{1}{2} \left(a_k-b_k\right) e^{-2 \pi i k t}+\frac{1}{2} \left(a_k+b_k\right) e^{2 \pi i k t}\\ \end{align} \]
从前面到这里，k还是正整数，它作为改变频率的系数，为了进一步化简，我们把复指数上正负号移到k上，与k结合，那么k就变成任意正负整数。复指数上正负号给予了“k”正负，但无论是正还是负，\(a_k\)和\(b_k\)的下标都对应正的。
\[\begin{align} &\frac{1}{2} \left(a_k-b_k\right) e^{-2 \pi i k t}+\frac{1}{2} \left(a_k+b_k\right) e^{2 \pi i k t}\\ =&\frac{1}{2} \left(a_{- (-k)}-b_{- (-k)}\right) e^{2 \pi i (- k) t}+\frac{1}{2} \left(a_{+ (+k)}+b_{+ (+k)}\right) e^{2 \pi i (+ k) t} \end{align} \]
上式中，我们要把（-k）和（+k）看成一个整体，即此时，“k”还在实数域（其实这样描述不太准确，但为了区分两个域，我想不出更好描述，所以这里加了引号），（-k）代表k<0，（+k）代表k>0.
我们把\(\frac{1}{2}(a_k+b_k)\)和\(\frac{1}{2}(a_k-b_k)\)统一用\(C_k\)表示，并且，“k”进入复数域，是涵盖正负的整数。
\[C_k= \begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} \frac{1}{2}\left(a_{+ k}+b_{+ k}\right) \ & k>0 \\ \frac{1}{2}\left(a_{- k}-b_{- k}\right) \ & k<0 \\ \end{array} \\ \end{array} \]
注意，\(C_k\)是分段函数.
将\(C_k\)代入tag（7）化简，然后把各项频率分量相加，我们可以得到
\[\begin{align} &\frac{1}{2} \left(a_{- (-k)}-b_{- (-k)}\right) e^{2 \pi i (- k) t}+\frac{1}{2} \left(a_{+ (+k)}+b_{+ (+k)}\right) e^{2 \pi i (+ k) t}\\ \Longleftrightarrow &\ C_k e^{2 \pi i k t}\\ \Longleftrightarrow &\sum _{k=-n}^n C_k e^{2 \pi i k t}\\ \end{align} \]
再思考一下，为什么k是从-n到n？
其实，这里的操作只是把原本的三角函数形式的和式，拆分为2次相加。
也就是说，在实数域中，三角函数形式的和式被分为两部分，在复数域我们需要两个式子相加，才能得到原本的实数域三角函数形式的和式。
比如在实域，当“k”=1时，
将三角函数形式的和式化为 tag（7）的形式为
\[\frac{1}{2} \left(a_{ 1}-b_{ 1}\right) e^{2 \pi i (- 1) t}+\frac{1}{2} \left(a_{ 1}+b_{ 1}\right) e^{2 \pi i ( 1) t}\\ \]
在复数域，当“k”=1时
\(C_k=\frac{1}{2}(a_k+b_k)\),
我们进行回推，得到
\[\begin{align} & C_1 e^{2 \pi i 1 t}\\ =&\frac{1}{2} \left(a_{1}+b_{1}\right) e^{2 \pi i (1) t}\\ \end{align} \]
我们需要加上复数域中“k”=-1的部分，才能回推到实域的和式
在复数域，当“k”=-1时，
\(C_k=\frac{1}{2}\left(a_{- k}-b_{- k}\right )\),
我们进行回推 ，得到
\[\begin{align} & C_{-1} e^{2 \pi i (-1) t}\\ =&\frac{1}{2} \left(a_{1}-b_{1}\right) e^{2 \pi i (-1) t}\\ \end{align} \]
我们看到，要把两个指数形式的式子 相加，才能得到三角函数形式.
相加的和，还是实数，因为 两个指数形式 的式子满足共轭关系。
至此，我们就对普遍的周期性信号或现象完成了建模，将 \(\frac{a_0}{2}\) 换成 \(C_0\) 我们得到最终简化的式子
\[\begin{align} f(t)=&\sum _{k=-n}^n C_k e^{2 \pi i k t}\\ \end{align} \]
其中，我们假定 f(t) 周期为1。
和式中的系数
假设我们建模问题已经解决，我们对某个周期性信号建模：
\[\begin{align} f(t)=&\sum _{k=-n}^n C_k e^{2 \pi i k t}\\ \end{align} \]
f(t)是我们已经得到的信号，那么式子中未知量就是\(C_k\)。怎么求出\(C_k\)？
先用代数运算，从和式中取出\(C_m\)项
\[C_m e^{2 \pi i m t}=f(t) -\sum _{k\neq m} C_k e^{2 \pi i k t} \]
\[C_m=f (t) e^{-2 \pi i m t}-\sum _{k\neq m} C_k e^{2 \pi i t (k-m)} \]
两边同时积分，
\[\int_0^1 C_m \, dt=C_m\\ C_m=\int_0^1 f (t) e^{-2 \pi i m t} \, dt-\sum _{k\neq m} C_k \int_0^1 e^{2 \pi i (k-m)t} \, dt \]
\[\begin{align} &\int_0^1 e^{2 \pi i (k-m)t} \, dt\\ =&\frac{e^{2 \pi i (k-m)}-e^0}{2 \pi i (k-m)}\\ &欧拉公式变换\\ =&\frac{i \sin (2 \pi (k-m))+\cos (2 \pi (k-m))-1}{2 \pi i (k-m)}\\ =&\frac{1+0-1}{2 \pi i (k-m)}\\ =&0 \end{align} \]
所有累加项的和消失，剩下
\[C_m=\int_0^1 f (t) e^{-2 \pi i m t} \, dt \]
给定 f(t) ,我们就能求出对应分量的系数。