傅里叶变换的三个实例：矩形函数、三角函数与高斯函数 [学习笔记]

矩形函数：

$$\Pi(t) = \begin{cases} 1, \left\lvert t \right\rvert<\frac{1}{2}\\ 0, \left\lvert t \right\rvert\geq\frac{1}{2} \end{cases}$$

对其进行傅里叶变换，我们有（需要运用欧拉公式的变形公式，详见傅里叶级数推导过程(2)、(3)式）：

$$\begin{align*} {\scr F}\Pi (s) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi ist} \Pi (t)dt\\ &= \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{-2\pi ist}dt\\ &= \left. -\frac{1}{2\pi is} e^{-2\pi ist}\right | _{t=-\frac{1}{2}}^{t=\frac{1}{2}}\\ &=\frac{1}{\pi s} \frac{(e^{\pi is} - e^{-\pi is})}{2i}\\ &=\frac{\sin(\pi s)}{\pi s} \end{align*}$$

我们定义$sinc(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$，我们称其为归一化$sinc$函数，在数字信号处理中常用；
而对于$sinc(x) = \frac{\sin(x)}{x}$，我们称其为未归一化的$sinc$函数，在数学中常用。
二者的图像如下：

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三角函数

$$\Lambda (t) = \begin{cases} 1-\left\lvert t \right\rvert &, \left\lvert t \right\rvert \leq 1\\ 0 &, \left\lvert t \right\rvert > 1 \end{cases}$$

对其进行傅里叶变换，我们有（需要运用分部积分法，详见微积分相关内容）：

$$\begin{align*} {\scr F}\Lambda (s) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi ist} \Lambda (t)dt\\ &= \int_{-1}^{0} e^{-2\pi ist}(1+t)dt + \int_{0}^{1} e^{-2\pi ist}(1-t)dt\\ &= \int_{-1}^{0} (1+t)d(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is}) + \int_{0}^{1} (1-t)d(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})\\ &= \left. (1+t)(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})\right |_{-1}^0 - \int_{-1}^{0} (\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})d(1+t) + \left. (1-t)(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})\right |_0^1 - \int_0^1 (\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})d(1-t)\\ &= \left. (1+t)(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})\right |_{-1}^0 - \int_0^1 (\frac{e^{-2\pi is(k-1)}}{-2\pi is})dk + \left. (1-t)(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})\right |_0^1 - \int_1^0 (\frac{e^{-2\pi is(1-k)}}{-2\pi is})dk\\ &= \left. (1+t)(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})\right |_{-1}^0 - \left.(\frac{e^{2\pi is}}{-2\pi is} \frac{e^{-2\pi isk}}{-2\pi is}) \right |_0^1 + \left. (1-t)(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})\right |_0^1 - \left.(\frac{e^{-2\pi is}}{-2\pi is} \frac{e^{2\pi isk}}{2\pi is}) \right |_1^0\\ &=\frac{2-e^{2\pi is}- e^{-2\pi is}}{4\pi ^2 s^2} \end{align*}$$

利用欧拉公式，我们有：

$$\begin{align*} {\scr F}\Lambda (s) &= \frac{2-(\cos2\pi s +i \sin2\pi s) -(\cos2\pi s - i \sin2\pi s)}{4\pi ^2 s^2} \\ &=\frac{2-2\cos2\pi s}{4\pi ^2 s^2} \\ &=\frac{2-2(1-2\sin^2 \pi s)}{4\pi ^2 s^2} \\ &=\frac{\sin^2 \pi s}{\pi ^2 s^2} \\ &=sinc^2 (s) \end{align*}$$

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最后我们来看高斯函数的傅里叶变换

高斯分布（又称正太分布）公式如下：

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

即$X$ ~ $N(\mu, \sigma^2)$
我们令$\mu = 0$，$\sigma^2 = \frac{1}{2\pi}$，用$t$代替$x$成为自变量，则有以下高斯函数特例：

$$f(t) = e^{-\pi t^2}\tag1$$

对$(1)$式进行傅里叶变换，为了方便，我们将${\scr {F}}f$写作$F$，则有

$$F(s) = {\scr {F}}f(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi ist}f(t)dt \tag2$$

两边同时对$s$求导，

$$\begin{align*} F^\prime (s) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d}{ds}(e^{-2\pi ist}) e^{-\pi t^2}dt\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} (-2\pi it) e^{-2\pi ist} e^{-\pi t^2}dt\\ &=i\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi ist}d(e^{-\pi t^2})\\ &=i\left. e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}\right|_{t=-\infty}^{t=+\infty}-i\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2}d(e^{-2\pi ist})\tag3 \end{align*}$$

对于$(2)$式，我们将等式右边拆分成两个部分进行计算
对于第一部分，我们不难发现，$ie^{-2\pi ist}=i\cos(2\pi st) + \sin (\pi st)$，由于$\sin x$、$\cos x$是有限的，即取值范围都在$[-1,1]$，因此，$ie^{-2\pi ist}$的取值也是有限的，即在复平面内模长为1的圆上取值；而当$t\to \infty$时$e^{-\pi t^2}\to 0$。一个有限的数与零相乘，其结果为0，故

$$i\left. e^{-2\pi ist}e^{-\pi t^2}\right|_{t=-\infty}^{t=+\infty} = 0\tag4$$

第二部分：

$$\begin{align*} i\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2}d(e^{-2\pi ist}) &= i\int_{-\infty}^{+\infty} -2\pi is e^{-2\pi ist} e^{-\pi t^2}dt\\ &=2\pi s \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi ist} e^{-\pi t^2}dt\\ &=2\pi s F(s) \tag5 \end{align*}$$

由$(3)$、$(4)$、$(5)$式，我们可以得到：

$$F^\prime (s) = 0 - 2\pi s F(s) = - 2\pi s F(s)$$

运用分离变量法解该常微分方程，我们可以得到：

$$F(s) = F(0) e^{-\pi s^2}\tag6$$

根据$(2)$式，我们可以得到：

$$F(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi i 0 t}f(t)dt = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2}dt\tag7$$

下面我们先来计算定积分$\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2}dt$
令$g(x) = \int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2}dx$，则

$$\begin{align*} g^2(x) &= (\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi x^2}dx)^2\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi x^2}dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi y^2}dy\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi x^2}e^{-\pi y^2}dxdy\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi (x^2+y^2)}dxdy \end{align*}$$

我们对$x$、$y$进行极坐标变换，可得：

$$\begin{align*} g^2(x) &= \int_0^{2\pi} \int_0^{+\infty} e^{-\pi \rho^2} \rho d\rho d\theta \\ &= \int_0^{+\infty} 2\pi e^{-\pi \rho^2} \rho d\rho \\ &= \pi \int_0^{+\infty} e^{-\pi \rho^2} d(\rho^2) \\ &= \pi (\left. \frac{1}{-\pi} e^{-\pi \rho^2} \right|_0^{+\infty})\\ &= -(0-1)\\ &=1\tag8 \end{align*}$$

由$(6)$、$(7)$、$(8)$式，我们有

$$F(s) = {\scr {F}}f(s) = e^{-\pi s^2}\tag9$$

这个结果表示，高斯函数$f(t) = e^{-\pi t^2}$经傅里叶变换后的图像形状，与原图像形状是一样的