三角函数正交性

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三角函数正交性

三角函数正交性是一个非常重要的数学性质，特别是在信号处理和傅里叶分析中。三角函数的正交性可以表示为在一个周期内，不同频率的正弦和余弦函数的乘积的积分等于零。

集合 { sin ⁡ 0 x = 0 , cos ⁡ 0 x = 1 , sin ⁡ x , cos ⁡ x , sin ⁡ 2 x , cos ⁡ 2 x , … } \{\sin 0x = 0, \cos 0x = 1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \ldots\} { sin0x=0,cos0x=1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…} 包括了无穷多的正弦和余弦函数，它们的频率从 0 开始递增。

这些函数在 $[0,2\pi ]$ 上正交。这意味着，如果您取其中任意两个不同的函数并计算它们在一个完整周期上的乘积的积分，结果将为零。

具体来说：

• 当 $n=m$ 时，${\int }_0^{2\pi }\sin nx\sin mxdx={\int }_0^{2\pi }\cos nx\cos mxdx=\pi$；
• 当 $n\ne m$ 时，${\int }_0^{2\pi }\sin nx\sin mxdx={\int }_0^{2\pi }\cos nx\cos mxdx=0$；
• 对于所有 $n,m$，${\int }_0^{2\pi }\sin nx\cos mxdx=0$。

正弦函数的正交性

正弦函数的正交性取决于整数 $n$ 和 $m$ 是否相等。下面我们详细证明这两种情况。

1. 当 $n=m$ 时:

考虑积分:

${\int }_0^{2\pi }\sin nx\sin nxdx={\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}nxdx$

我们可以使用三角恒等式将其转换为余弦的形式:

${\sin }^{2}nx=\frac{1-\cos 2nx}{2}$

积分得到:

${\int }_0^{2\pi }\frac{1-\cos 2nx}{2}dx=\pi$

• 完整推导，我们可以得到：

  $\begin{array}{rl}{\int }_0^{2\pi }\sin nx\sin nxdx& ={\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}nxdx\\ & ={\int }_0^{2\pi }\frac{1-\cos 2nx}{2}dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }1dx-\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\cos 2nxdx\\ & =\frac{1}{2}\cdot 2\pi -0\\ & =\pi \end{array}$

2. 当 $n\ne m$ 时:

考虑积分:

${\int }_0^{2\pi }\sin nx\sin mxdx$

我们可以使用乘积到和的恒等式:

$\sin nx\sin mx=\frac{1}{2}\left(\cos (n-m)x-\cos (n+m)x\right)$

然后积分:
$\begin{array}{rl}{\int }_0^{2\pi }\sin nx\sin mxdx& =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\left(\cos (n-m)x-\cos (n+m)x\right)dx\\ & =\frac{1}{2}{\left[\frac{\sin (n-m)x}{n-m}-\frac{\sin (n+m)x}{n+m}\right]}_0^{2\pi }\\ & =\frac{1}{2}\left[\frac{\sin (n-m)(2\pi )}{n-m}-\frac{\sin (n+m)(2\pi )}{n+m}-\frac{\sin (n-m)(0)}{n-m}+\frac{\sin (n+m)(0)}{n+m}\right]\\ & =0\end{array}$

因为 $(n-m)$ 和 $(n+m)$ 都是非零整数，所以在 $[0,2\pi ]$ 上的余弦函数积分都为0。

总结:

• 当 $n=m$ 时，积分结果为 $\pi$。
• 当 $n\ne m$ 时，积分结果为0。

这些性质在傅里叶分析和信号处理中非常重要，它们使我们能够将复杂的周期信号分解为不同频率的正弦和余弦分量。

余弦函数的正交性

余弦函数的正交性也可以通过类似的方法进行证明。我们分析两种情况：

1. 当 $n=m$ 时:

考虑积分:

${\int }_0^{2\pi }\cos nx\cos nxdx={\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}nxdx$

我们可以使用三角恒等式将其转换为余弦的形式:

${\cos }^{2}nx=\frac{1+\cos 2nx}{2}$

积分得到:

${\int }_0^{2\pi }\frac{1+\cos 2nx}{2}dx=\pi$

• 完整推导，我们可以得到：

  $\begin{array}{rl}{\int }_0^{2\pi }\cos nx\cos nxdx& ={\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}nxdx\\ & ={\int }_0^{2\pi }\frac{1+\cos 2nx}{2}dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }1dx+\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\cos 2nxdx\\ & =\frac{1}{2}\cdot 2\pi +0\\ & =\pi \end{array}$

2. 当 $n\ne m$ 时:

考虑积分:

${\int }_0^{2\pi }\cos nx\cos mxdx$

我们可以使用乘积到和的恒等式:

$\cos nx\cos mx=\frac{1}{2}\left(\cos (n-m)x+\cos (n+m)x\right)$

然后积分:
$\begin{array}{rl}{\int }_0^{2\pi }\cos nx\cos mxdx& =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\left(\cos (n-m)x+\cos (n+m)x\right)dx\\ & =\frac{1}{2}{\left[\frac{\sin (n-m)x}{n-m}+\frac{\sin (n+m)x}{n+m}\right]}_0^{2\pi }\\ & =\frac{1}{2}\left[\frac{\sin (n-m)(2\pi )}{n-m}+\frac{\sin (n+m)(2\pi )}{n+m}-\frac{\sin (n-m)(0)}{n-m}-\frac{\sin (n+m)(0)}{n+m}\right]\\ & =0\end{array}$

因为 $(n-m)$ 和 $(n+m)$ 都是非零整数，所以在 $[0,2\pi ]$ 上的余弦函数积分都为0。

总结:

• 当 $n=m$ 时，积分结果为 $\pi$。
• 当 $n\ne m$ 时，积分结果为0。

这些性质在傅里叶分析和信号处理中也同样重要，它们也使我们能够将复杂的周期信号分解为不同频率的余弦分量。

正弦和余弦函数的正交性

正弦和余弦函数的正交性也可以证明，我们分析两种情况：

当 $n=m$ 时:

考虑积分:

${\int }_0^{2\pi }\sin nx\cos nxdx$

使用乘积到和的恒等式，我们有:

$\sin nx\cos nx=\frac{1}{2}\left(\sin (n+m)x+\sin (n-m)x\right)$

由于 $n=m$，该表达式变为:

$\frac{1}{2}\left(\sin 2nx+\sin 0\right)$

积分得到:

${\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}\left(\sin 2nx+\sin 0\right)dx=0$

当 $n\ne m$ 时:

考虑积分:

${\int }_0^{2\pi }\sin nx\cos mxdx$

我们可以使用乘积到和的恒等式:

$\sin nx\cos mx=\frac{1}{2}\left(\sin (n+m)x+\sin (n-m)x\right)$

然后积分:

${\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}\left(\sin (n+m)x+\sin (n-m)x\right)dx=0$

因为 $(n-m)$ 和 $(n+m)$ 都是整数，所以在 $[0,2\pi ]$ 上的正弦函数积分都为0。

• 对于任何整数 $n$和 $m$，我们有：

${\int }_0^{2\pi }\sin nx\cos mxdx=0$

证明如下：

使用三角恒等式：

$\sin nx\cos mx=\frac{1}{2}\left(\sin (n+m)x+\sin (n-m)x\right)$

我们可以得到：

$\begin{array}{rl}{\int }_0^{2\pi }\sin nx\cos mxdx& =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\left(\sin (n+m)x+\sin (n-m)x\right)dx\\ & =\frac{1}{2}{\left[-\frac{\cos (n+m)x}{n+m}-\frac{\cos (n-m)x}{n-m}\right]}_0^{2\pi }\\ & =\frac{1}{2}\left[-\frac{\cos (n+m)(2\pi )}{n+m}+\frac{\cos (n+m)(0)}{n+m}+\frac{\cos (n-m)(2\pi )}{n-m}-\frac{\cos (n-m)(0)}{n-m}\right]\\ & =0\end{array}$

这样，我们证明了正弦和余弦函数之间的正交性。当两个函数的频率不同时，一个周期内的乘积的积分等于零。
总结:

• 当 $n=m$ 时，积分结果为0。
• 当 $n\ne m$ 时，积分结果为0。

这些性质在傅里叶分析中同样重要，它们表明不同频率的正弦和余弦函数在整个周期上彼此正交。