Jaccard距离和海明距离

Jaccard（杰卡德）相似度

Jaccard相似度常用于计算两个文本的字面相似度。将文本分为词的序列。两个文本中一样的词汇集合的个数为A，所有词汇构成的集合为B。最终用A除以B得到的结果就是Jaccard相似度。

用一个例子来说明：

		今天天气很好==>今天/天气/很好
		今天天气不好==>今天/天气/不好

所有词汇的集合:
word_set = {今天，天气，很好，不好}
两个句子中相同的词汇集合：
same_set = {今天，天气}
$Jaccard\_similarity=\frac{len(same\_set)}{len(word\_set)}=\frac{2}{4}=0.5$

把这个问题抽象出来可以给出Jaccard相似度的定义：

	给定两个集合A，B，Jaccard系数（相似度）定义为A与B交集大小与并集大小的比值，公式如下：

$J(A,B)=\frac{|A\cap B|}{|A\cup B|}=\frac{|A\cap B|}{|A| + |B| - |A\cap B|}$

	Jaccard值越大说明相似度越高。

Jaccard距离用于描述不相似的程度： $d(A,B)=1-J(A,B)$

如何度量两个向量之间的Jaccard相似度？

前提条件就是：这两个向量的维度一定要相等，否则对于相似性的度量既没有意义，也不好度量。

Jaccard针对二值向量可进行相似性度量。

假设拥有两个向量 $vec_1$和 $vec_2$：

1. 其中对应位置均为0的个数记作 $M_{00}$
2. 其中 $vec_1$中为0 $vec_2$中为1的个数记作 $M_{01}$
3. 其中 $vec_1$中为1 $vec_2$中为0的个数记作 $M_{10}$
4. 其中对应位置均为1的个数记作 $M_{11}$

如果 $M_{00}$与 $M_{11}$相差不大，则两个向量的Jaccard相似度为：
$J(vec_1, vec_2)=\frac{M_{00}+M_{11}}{M_{00}+M_{01}+M_{10}+M_{11}}$

如果 $M_{00}>>M_{11}$或者为0时代表的含义并无实际意义，则两个向量的Jaccard相似度为：
$J(vec_1, vec_2)=\frac{M_{11}}{M_{01}+M_{10}+M_{11}}$

特点

Jaccard相似性与余弦相似度的关键区别在于：Jaccard针对重复性的元素不敏感，也就是一个词汇出现100次在Jaccard的相似性度量中与出现1次的结果一样。而余弦相似度有较大的区别。

海明距离

海明距离也是用于度量两个向量之间的差异程度。同时也是SimHash的御用距离度量方法。

统计两个向量中不一样元素的个数的和，其实就是 $Jaccard$中 $M_{01}+M_{10}$的结果。
同时也可以计算两个向量异或之后的元素1的个数之和。