文本向量的距离测度——欧氏距离、曼哈顿距离、余弦相似度

在NLP中文本均会被表示为向量的形式，为了给出任何两个文本之间的相似程度，则可以利用各类的距离进行表示，其中最为著名的两种距离就是欧式距离和宇轩相似度，此外还有曼哈顿距离也被广泛使用。而这三个测度方式均是在欧式空间下进行的。

本文以如下的两个向量作为例子进行具体的阐述：

	vec1=[x1,x2,x3...xn]
	vec2=[y1,y2,y3...yn]

欧氏距离

欧式距离就是最简单最直观的测度方式，两点之间连线最短，把这两个点的连线的距离计算出来就可以得到欧氏距离的结果了。也就是利用如下的公式可以计算出来。

$Euclidean\_Distance(vec1,vec2)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$

曼哈顿距离

曼哈顿距离作为向量距离的另一种测度方式，是将某一向量在绝对值方向上进行移动，最终变为另一向量的总体变动的距离之和。具体的公式可以表示为如下形式。
$Manhattan\_Distance(vec1,vec2)=\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|$

曼哈顿距离和欧氏距离的区别

引用最经典的一个图，上图可以认为是两点之间的4个路径。其中绿色路径的距离是欧式距离，而剩下的三条均是曼哈顿距离。

可以直观的理解，欧式距离与平方相关，曼哈顿距离与绝对值相关。

余弦相似度

本质上余弦相似度并不是一种距离的测度，当然可以利用1-余弦相似度的方法来定义余弦距离。但是余弦相似度与欧氏距离经常一起出现。所以本文也一并将其列出来进行简单的介绍。
$cosine\_similarity(vec1,vec2)=\frac{vec1\cdot vec2}{|vec1|\times |vec2|}=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i\times y_i)}{\sum_{i=1}^nx_i \times \sum_{i=1}^ny_i}$

余弦相似度和欧氏距离的区别

上图较为清晰的表示出欧氏距离与余弦相似度的本质内容，一个是真实在数值上的差异，另一个是在方向与趋势上的差异。

不同的使用场景需要选择不同的度量方式。