[NOI2014] 魔法森林 - LCT

Description

给出一个 \(n\) 个点， \(m\) 条边的无向图，每条边都有权值 \(a_i,b_i\) ，求一条从点 \(1\) 到点 \(n\) 的路径，使得这条路径上边的 \(a_i,b_i\) 最大值之和最小。 \(2 \leq n \leq 5 \times 10^4, 0 \leq m \leq 1 \times 10^5\) 。

Solution

将所有边按照 \(a_i\) 升序排序，依次加入，用 LCT 维护 \(b_i\) 的最小生成树

每次加边后，如果 \(1\) 和 \(n\) 连通，就更新一次答案

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1000000;

int n,m,val[N];

namespace lct {
	int top, q[N], ch[N][2], fa[N], rev[N];
	int mx[N];
	inline void pushup(int x){
		int v=max(val[x], max( val[mx[ch[x][0]]],val[mx[ch[x][1]]] ));
		if(v==val[x]) mx[x]=x;
		else if(v==val[mx[ch[x][0]]]) mx[x]=mx[ch[x][0]];
		else mx[x]=mx[ch[x][1]];
	}
	inline void pushdown(int x){
		if(!rev[x]) return;
		rev[ch[x][0]]^=1;
		rev[ch[x][1]]^=1;
		rev[x]^=1;
		swap(ch[x][0],ch[x][1]);
	}
	inline bool isroot(int x){
		return ch[fa[x]][0]!=x && ch[fa[x]][1]!=x;
	}
	inline void rotate(int p){
		int q=fa[p], y=fa[q], x=ch[fa[p]][1]==p;
		ch[q][x]=ch[p][x^1]; fa[ch[q][x]]=q;
		ch[p][x^1]=q; fa[q]=p; fa[p]=y;
		if(y) if(ch[y][0]==q) ch[y][0]=p;
		else  if(ch[y][1]==q) ch[y][1]=p;
		pushup(q); pushup(p);
	}
	inline void splay(int x){
		q[top=1]=x;
		for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) q[++top]=fa[i];
		for(int i=top;i;i--) pushdown(q[i]);
		for(;!isroot(x);rotate(x))
			if(!isroot(fa[x]))
				rotate((ch[fa[x]][0]==x)==(ch[fa[fa[x]]][0]==fa[x])?fa[x]:x);
	}
	void access(int x){
		for(int t=0;x;t=x,x=fa[x])
			splay(x),ch[x][1]=t,pushup(x);
	}
	void makeroot(int x){
		access(x);
		splay(x);
		rev[x]^=1;
	}
	int find(int x){
		access(x);
		splay(x);
		while(ch[x][0]) x=ch[x][0];
		return x;
	}
	bool islinked(int x,int y) {
        return find(x)==find(y);
	}
	void split(int x,int y){
		makeroot(x);
		access(y);
		splay(y);
	}
	void cut(int x,int y){
		split(x,y);
		if(ch[y][0]==x)
			ch[y][0]=0, fa[x]=0;
	}
	void link(int x,int y){
		makeroot(x);
		fa[x]=y;
	}
	int query(int x,int y) {
        split(x,y);
        return mx[y];
	}
}

struct edge {
    int id,u,v,a,b;
    bool operator < (const edge &x) {
        return a < x.a;
    }
} e[N];

namespace mst {
    void add(edge ee) {
        val[ee.id+n]=ee.b;
        if(lct::islinked(ee.u,ee.v)) {
            int mx=lct::query(ee.u,ee.v);
            if(val[mx]>ee.b) {
                lct::cut(mx,e[mx-n].u);
                lct::cut(mx,e[mx-n].v);
                lct::link(ee.id+n,ee.u);
                lct::link(ee.id+n,ee.v);
            }
        }
        else {
            lct::link(ee.id+n,ee.u);
            lct::link(ee.id+n,ee.v);
        }
    }
    int getans() {
        return val[lct::query(1,n)];
    }
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        edge &ee = e[i];
        cin>>ee.u>>ee.v>>ee.a>>ee.b;
    }
    sort(e+1,e+m+1);
    for(int i=1;i<=m;i++) e[i].id=i;
    int ans=1e9;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        mst::add(e[i]);
        if(lct::islinked(1,n)) {
            ans=min(ans,mst::getans()+e[i].a);
        }
    }
    if(ans==1e9) cout<<-1;
    else cout<<ans;
}