本文基于tensorflow-v1.15分支，简单分析下tensorflow中的优化器。
optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate=.05)
train_op = optimizer.minimize(loss)
实际上，当我们调用optimizer.minimize()时，其内部会调用两个方法compute_gradients和apply_gradients，分别用来计算梯度和使用梯度更新权重，其核心逻辑如下所示。
def minimize(self, loss, global_step=None, var_list=None, gate_gradients=GATE_OP,
aggregation_method=None, colocate_gradients_with_ops=False, name=None,
grad_loss=None):
grads_and_vars = self.compute_gradients(loss, var_list=var_list, gate_gradients=gate_gradients,
aggregation_method=aggregation_method,
colocate_gradients_with_ops=colocate_gradients_with_ops,
grad_loss=grad_loss)
vars_with_grad = [v for g, v in grads_and_vars if g is not None]
return self.apply_gradients(grads_and_vars, global_step=global_step, name=name)
如果我们想在模型更新前对梯度搞一些自定义的操作，TensorFlow中推荐的方式是
- 通过
compute_gradients计算梯度 - 对梯度进行一些自定义操作
- 通过
apply_gradients将处理后的梯度更新到模型权重
在optimizer.minimize的第一阶段，我们首先通过compute_gradients计算出梯度。实际上，在compute_gradients函数中，tensorflow使用了两种计算梯度的方式，分别是针对静态图的tf.gradients接口和针对动态图的tf.GradientTape接口，这两个接口内部分别使用了符号微分和自动微分的方式来计算梯度。下面是compute_gradients的核心执行逻辑，代码中省略了部分异常判断的语句。可以看到，如果传入的loss是一个可调用对象，那么就会调用backprop.GradientTape相关的接口去求解梯度；否则，就会调用gradients.gradients接口去求解梯度。
from tensorflow.python.eager import backprop
from tensorflow.python.ops import gradients
def compute_gradients(self, loss, var_list=None, gate_gradients=GATE_OP,
aggregation_method=None, colocate_gradients_with_ops=False,
grad_loss=None):
if callable(loss):
with backprop.GradientTape() as tape:
if var_list is not None:
tape.watch(var_list)
if var_list is None:
var_list = tape.watched_variables()
grads = tape.gradients(grads, var_list, grad_loss)
return list(zip(grads, var_list))
# non-callable/tensor loss
if var_list is None:
var_list = (variables.train_variable() + ops.get_collection(ops.GraphKeys.TRAINABLE_RESOURCE_VARIABLES))
else:
var_list = nest.flatten(var_list)
var_list += ops.get_collection(ops.GraphKeys._STREAMING_MODEL_PORTS) # do nothing
processors = [_get_processor(v) for v in var_list]
var_refs = [p.target() for p in processors]
grads = gradients.gradients(
loss, var_refs, grad_ys=grad_loss,
gate_gradients=(gate_gradients == Optimizer.GATE_OP),
aggregation_method=aggregation_method,
colocate_gradients_with_ops=colocate_gradients_with_ops)
grads_and_vars = list(zip(grads, var_list))
return grads_and_vars
一般来说，loss是一个tensor，因此我们主要关注上述代码的第16-29行。在第16-19行，我们获取需要求解梯度的变量列表。如果没有指定var_list，那么compute_gradient函数会默认获取所有的TRAINABLE_VARIABLES和TRAINABLE_RESOURCE_VARIABLES。第20行貌似啥也没做，因为再源代码中2找不到名为_STRAMING_MODEL_PROTS的变量集合。注意到第23行调用gradients.gradients函数计算梯度，这个函数实现在python/ops/gradient_impl.py文件中，其内部调用了_GradientsHelper来实现真正的计算。因为_GradientsHelper这个函数特别长，而且它和gradients函数的参数相同，所以我们这里先介绍几个重要形参的含义。
def gradients(ys, xs, grad_ys, name="gradients",
colocate_gradients_with_ops=False,
gate_gradients=False,
aggregation_method=None,
stop_gradients=None):
with ops.get_default_graph()._mutation_lock():
return _GradientsHelper(ys, xs, grad_ys, name, colocate_gradients_with_ops,
gate_gradients, aggregation_method, stop_gradients)
ys和xs参数均接收单个tensor或tensor列表，分别对应\(\frac{\partial Y}{\partial X}\)中的\(Y\)和\(X\)。
grad_ys参数接收单个tensor或tensor列表，它的维度必须和ys的维度相同。grad_ys为ys中的每个tensor提供初始值，如果grad_ys为None，那么ys中每个tensor的初始值就被设置为1。
aggregation_method表示梯度聚合的方式，tensorflow支持的所有聚合方式均定义于tf.AggregationMethods类中，包括ADD_N、DEFAULT、EXPERIMENTAL_N以及EXPERIMENTAL_ACCUMULATE_N等方法。
stop_gradients参数接收单个tensor或tensor列表，这些tensor不参与反向传播梯度的计算。注意，tensorflow提供了另一个接口tf.stop_gradients，也可以完成相同的工作。二者的区别在于tf.stop_gradient作用于计算图构建时，而tf.gradients的stop_gradients参数作用于计算图的运行时。
_GradientHelper是构建反向计算图并求解梯度的关键方法，需要仔细阅读。这里暂时给出一个简略的分析。
这个方法会维护两个重要变量：
- 一个队列queue，队列里存放计算图里所有出度为0的Op
- 一个字典grads，字典的键是Op本身，值是该Op每个输出端收到的梯度列表
反向传播求梯度时，每从队列中弹出一个Op，都会把它输出变量的梯度加起来（对应全微分定理）得到out_grads，然后获取对应的梯度计算函数grad_fn。Op本身和out_grads会传递给grad_fn做参数，求出输入的梯度。每当一个Op的梯度被求出来，就会更新所有未经处理的Op的出度和queue。当queue为空时，就表示整个反向计算图处理完毕。
if grad_fn:
in_grads = _MaybeCompile(grad_scope, op, func_call,
lambda: grad_fn(op, *out_grads))
else:
in_grads = _MaybeCompile(grad_scope, op, func_call,
lambda: _SymGrad(op, out_grads, xs))
grad_fn是梯度计算函数，它用来计算给定Op的梯度。在TensorFlow里，每个Op都会定义一个对应的梯度计算函数。例如，下面是平方函数(tf.square)的梯度：
@ops.RegisterGradient("Square")
def _SquareGrad(op, grad):
x = op.inputs[0]
# Added control dependencies to prevent 2*x from being computed too early.
with ops.control_dependencies([grad]):
x = math_ops.conj(x)
y = constant_op.constant(2.0, dtype=x.dtype)
return math_ops.multiply(grad, math_ops.multiply(x, y))
apply_gradients是optimizer.minimize的第二阶段，它将梯度更新应用到变量上。根据所使用的学习算法的不同，apply_gradients内部会调用不同的Optimizer实现。下面的代码展示了apply_gradients的核心执行逻辑。
converted_grads_and_vars = []
for g, v in grads_and_vars:
if g is not None:
g = ops.conver_to_tensor_or_indexed_slices(g)
p = _get_processor(v)
converted_grads_and_vars.append((g, v, p))
var_list = [v for g, v, _ in converted_grads_and_vars if g is not None]
with ops.init_scope():
self._create_slots(var_list)
update_ops = []
with ops.name_scope(name, self._name) as name:
self._prepare()
for grad, var, processor in converted_grads_and_vars:
if grad is None:
continue
with ops.name_scope("update_" + scope_name), ops.colocate_with(var):
update_ops.append(processor.update_op(self, grad))
apply_updates = self._finish(update_ops, "update")
在1-6行，程序将每个非None的梯度转化成tensor（稠密）或indexedslices（稀疏），根据每个变量存储类型的不同，我们获取到不同的processor（第5行），最终将一个三元组(g, v, p)保存到列表converted_grads_and_vars中，以备后用。这里主要解释下第5行，对于所有可优化的变量OptimizableVariable，根据其类型的不同，我们需要调用不同update_op。
在程序的8-10行，我们首先获取到非None的grad对应的var，然后对相应的var创建slots。_create_slots方法需要Optimzier的子类自己去实现，它的作用是创建学习算法所需要的中间变量。以momentum sgd为例，它的更新公式为：
accumulation = momentum * accumulation + gradient
variable -= learning_rate * accumulation
可以看到，它在更新变量的时候需要用到一个中间变量accumulation。因此，我们需要为每个变量创建一个slot，用来保存这个中间变量，以便在下次进行权重更新时继续使用它：
def _create_slots(self, var_list):
for v in var_list:
self._zeros_slot(v, "momentum", self._name)
在程序的12-20行，我们为每个var添加对应的update_op。第14行调用了_prepare方法，它是用来初始化一些必要的变量（例如学习率、动量），为应用梯度做准备。还是以momentum sgd为例子，它的_prepare函数实现如下：
def _prepare(self):
learning_rate = self._learning_rate
if callable(learning_rate):
learning_rate = learning_rate()
self._learning_rate_tensor = ops.convert_to_tensor(learning_rate,
name="learning_rate")
momentum = self._momentum
if callable(momentum):
momentum = momentum()
self._momentum_tensor = ops.convert_to_tensor(momentum, name="momentum")
可以看到，在这个函数中，它将学习率和动量都转化成了tensor（为什么要转成tensor？）。准备工作完成后，我们就可以给每个非None的grad和var添加相应的update_op。注意第18行，我们使用ops.colocate_with(var)把var对应的update_op放置到var所在的设备上。最后，我们调用_finish函数以完成所有的更新。一般来说_finish函数不需要重写，唯一的例外是Adam算法，它在实现时重写了_finish算法。
前面提到，对于所有的可优化的变量，根据其类型的不同，我们会调用不同的update_op。一般来说，不同的Optimizer需要实现的update_op主要包括四种：_apply_dense、_resource_apply_dense、_apply_sparse和_resource_apply_sparse，其中前两种对应稠密更新，后两种对应稀疏更新。以_resource开头的方法是针对variable handle，而不带_resource的update_op则是针对variable的。这里我们还是以momentum sgd为例，介绍一下它的_apply_dense的实现。下面是对应的代码，可以看到它首先获取了中间变量mom，然后直接调用了training_ops中的apply_momentum方法。
def _apply_dense(self, grad, var):
mom = self.get_slot(var, "momentum")
return training_ops.apply_momentum(
var, mom,
math_ops.cast(self._learning_rate_tensor, var.dtype.base_dtype),
grad,
math_ops.cast(self._momentum_tensor, var.dtype.base_dtype),
use_locking=self._use_locking,
use_nesterov=self._use_nesterov).op
apply_momentum方法是由bazel构建生成的代码，它会调用op_def_lib中的_apply_op_helper函数，将一个名为ApplyMomentum的Op添加到计算图中：
_, _, _op = _op_def_lib._apply_op_helper(
"ApplyMomentum", var=var, accum=accum, lr=lr, grad=grad,
momentum=momentum, use_locking=use_locking,
use_nesterov=use_nesterov, name=name)
根据gen_training_ops.py中的注释，我们可以找到ApplyMomemtum这个Op的注册信息：
REGISTER_OP("ApplyMomentum")
.Input("var: Ref(T)")
.Input("accum: Ref(T)")
.Input("lr: T")
.Input("grad: T")
.Input("momentum: T")
.Output("out: Ref(T)")
.Attr("T: numbertype")
.Attr("use_locking: bool = false")
.Attr("use_nesterov: bool = false")
.SetShapeFn([](InferenceContext* c) {
return ApplyMomentumShapeFn(c, false /* not sparse */);
});
最终，我们可以在kernel目录下找到ApplyMomentum这个Op的实现。针对不同的设备，ApplyMomentum有不同的特化实现。
template <typename T>
struct ApplyMomentum<CPUDevice, T> {
void operator()(const CPUDevice& d, typename TTypes<T>::Flat var,
typename TTypes<T>::Flat accum,
typename TTypes<T>::ConstScalar lr,
typename TTypes<T>::ConstFlat grad,
typename TTypes<T>::ConstScalar momentum, bool use_nesterov) {
accum.device(d) = accum * momentum() + grad;
if (use_nesterov) {
var.device(d) -= grad * lr() + accum * momentum() * lr();
} else {
var.device(d) -= accum * lr();
}
}
};