The Best Vacation
思路
前缀和加贪心
贪心：我们的结尾点一定是在某一个月的最后一天。
贪心部分证明：我们选定两组数
\(A = a_{n - 2}, a_{n - 1}, a_{n}, b_{1}, b_{2}, b_{3}……b_{n - 2}, b_{n - 1}\)
\(B = a_{n - 1}, a_{n}, b_{1}, b_{2}, b_{3}……b_{n - 2}, b_{n - 1}, b_{n}\)
假如我们的贪心策略是正确的，只需要证明$b_ > a_{n - 2}$即可，但是我们总能如愿吗，看一组样例。
2 4
5 2
1 2 3 4 5 1 2
chose 3 4 5 1
chose 4 5 1 2
显然这里贪心策略错了
ans 2 3 4 5
但是我们能看到的是这组样例的却也是以某一个月的最后一天结尾。
我们列出$a, b$两个月的每天来。
\(a_{1}, a_{2}, a_{3}, ……, a_{n - 2}, a_{n - 1}, a_{n}\)
\(b_{1}, b_{2}, b_{3}, ……, b_{n - 2}, b_{n - 1}, b_{n}\)
假如$b_ > a_{n - 2}$，我们选定的两组数是一定成立的。
或者$b_ < a_{n - 2}$，同样的我们可以得到$each\ i\ from\ 1\ to\ n，a_{n - i - 1} > b_{n - i + 1}$
这里我们证明得到在上一步的贪心中，以月份$a$结尾的是正确的，否则的话我们将得到以$b$结尾的是正确的。
由此我们的贪心策略是正确的，所以我们只需要用前缀和来维护，然后通过枚举结尾点就行了。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 4e5 + 10;
ll a[N], s[N], x;
int n;
int main() {
freopen("in.txt", "r", stdin);
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n >> x;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
a[i + n] = a[i];
s[i] = s[i + n] = (1 + a[i]) * a[i] / 2;
}
for(int i = 1; i <= n << 1; i++) a[i] += a[i - 1], s[i] += s[i - 1];
ll ans = 0;
for(int i = 1; i <= 2 * n; i++) {
if(a[i] < x) continue;
ll low = a[i] - x;
int p = lower_bound(a + 1, a + 1 + 2 * n, low) - a;
if(a[i] - a[p] == x) ans = max(ans, s[i] - s[p]);
else {
ll last = low - a[p - 1];
ans = max(ans, s[i] - s[p - 1] - (1 + last) * last / 2);
}
}
cout << ans << "\n";
return 0;
}