A Non-Interactive Range Proof with Constant Communication

1. 背景知识

Rafik Chaabouni，Helger Lipmaa和Bingsheng Zhang 2012年论文《A Non-Interactive Range Proof with Constant Communication》，与Lipmaa 2012年论文《Progression-Free Sets and Sublinear Pairing-Based Non-Interactive Zero-Knowledge Arguments 》，两者之间有交叉引用。

Rafik Chaabouni，Helger Lipmaa和Bingsheng Zhang 2012年论文《A Non-Interactive Range Proof with Constant Communication》中，要点为：

• 基于CRS model的non-interactive range proof.
• 采用Hadamard product来实现parallel证明。
• 证明COCOON2009 [21]论文中的Range Proof为不安全的。
  

截止改论文发表时，现有的range proof大致可以分为两类：

• 第一类： uses a classical result of Lagrange that every non-negative integer is a sum of four squares [13, 7, 21]。【要求相应的group具有unknown order，这将严重限制其应用。】
• 基于以下事实：若 $a\in [0,H]$，当且仅当有相应的系数 $G_i$，使得存在 $b_i\in[0,u-1]$使 $a=\sum_{i=1}^{n}G_ib_i$。要求， $u<<H$且 $n$足够小。接下来证明每一个 $b_i$均满足 $b_i\in[0,u-1]$，利用commitment scheme的加法同态性可以verify $a=\sum_{i=1}^{n}G_ib_i$。明显地有 $a\in[0,2^d-1]\ iff\ a=\sum_{i=1}^{d}2^{i-1}b_i,其中b_i\in{0,1}$。对于任意的 $a\in[0,H]$，直观地，可转换为2个证明 $a\in[0,2^{\left \lfloor \log_2H\right \rfloor+1}-1]且H-a\in[0,2^{\left \lfloor \log_2H\right \rfloor+1}-1]$。事实上，通过巧妙地选择系数 $G_i$，对于任意的 $H>1$，可以仅需要一个证明即可， $for\ a\in[0,H], for\ any\ H>1,iff\ a=\sum_{i=1}^{\left \lfloor \log_2H\right \rfloor+1}G_ib_i\ and\ b_i\in[0,u-1]$。

2. 新的Range proof