0-1 背包问题
给你一个可装载重量为W的背包和N个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第i个物品的重量为wt[i]，价值为val[i]，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？
举个简单的例子，输入如下：
N = 3, W = 4
wt = [2, 1, 3]
val = [4, 2, 3]
算法返回 6，选择前两件物品装进背包，总重量 3 小于W，可以获得最大价值 6。
递归
private int maxW = Integer.MIN_VALUE; // 结果放到 maxW 中
private int[] weight = {2，2，4，6，3}; // 物品重量
private int n = 5; // 物品个数
private int w = 9; // 背包承受的最大重量
private boolean[][] mem = new boolean[5][10]; // 备忘录，默认值 false
public void f(int i, int cw) { // 调用 f(0, 0)
if (cw == w || i == n) { // cw==w 表示装满了，i==n 表示物品都考察完了
if (cw > maxW) maxW = cw;
return;
}
if (mem[i][cw]) return; // 重复状态
mem[i][cw] = true; // 记录 (i, cw) 这个状态
f(i+1, cw); // 选择不装第 i 个物品
if (cw + weight[i] <= w) {
f(i+1,cw + weight[i]); // 选择装第 i 个物品
}
}
动态规划
Java
//weight: 物品重量，n: 物品个数，w: 背包可承载重量
public int knapsack(int[] weight, int n, int w) {
boolean[][] states = new boolean[n][w+1]; // 默认值 false
states[0][0] = true; // 第一行的数据要特殊处理，可以利用哨兵优化
states[0][weight[0]] = true;
for (int i = 1; i < n; ++i) { // 动态规划状态转移
for (int j = 0; j <= w; ++j) {// 不把第 i 个物品放入背包
if (states[i-1][j] == true) states[i][j] = states[i-1][j];
}
for (int j = 0; j <= w-weight[i]; ++j) {// 把第 i 个物品放入背包
if (states[i-1][j]==true) states[i][j+weight[i]] = true;
}
}
for (int i = w; i >= 0; --i) { // 输出结果
if (states[n-1][i] == true) return i;
}
return 0;
}
C++
int knapsack(int W, int N, vector<int>& wt, vector<int>& val) {
// vector 全填入 0，base case 已初始化
vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(W + 1, 0));
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int w = 1; w <= W; w++) {
if (w - wt[i-1] < 0) {
// 当前背包容量装不下，只能选择不装入背包
dp[i][w] = dp[i - 1][w];
} else {
// 装入或者不装入背包，择优
dp[i][w] = max(dp[i - 1][w - wt[i-1]] + val[i-1], dp[i - 1][w]);
}
}
}
return dp[N][W];
}
分割等和子集
给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
注意:
- 每个数组中的元素不会超过 100
- 数组的大小不会超过 200
示例 1:
输入: [1, 5, 11, 5]
输出: true
解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
示例 2:
输入: [1, 2, 3, 5]
输出: false
解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.
动态规划
二维
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int sum = 0;
for (int num : nums) sum += num;
// 和为奇数时，不可能划分成两个和相等的集合
if (sum % 2 != 0) return false;
int n = nums.size();
sum = sum / 2;
vector<vector<bool>> dp(n + 1, vector<bool>(sum + 1, false));
// base case
for (int i = 0; i <= n; i++)
dp[i][0] = true;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= sum; j++) {
if (j - nums[i - 1] < 0) {
// 背包容量不足，不能装入第 i 个物品
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
// 装入或不装入背包
dp[i][j] = dp[i - 1][j] | dp[i - 1][j-nums[i-1]];
}
}
}
return dp[n][sum];
}
一维
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int sum = 0, n = nums.size();
for (int num : nums) sum += num;
if (sum % 2 != 0) return false;
sum = sum / 2;
vector<bool> dp(sum + 1, false);
// base case
dp[0] = true;
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = sum; j >= 0; j--)
if (j - nums[i] >= 0)
dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];
return dp[sum];
}
零钱兑换
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
示例 1:
输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3
解释: 11 = 5 + 5 + 1
示例 2:
输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1
说明:
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
HashMap 来当记忆数组的递归
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
unordered_map<int, int> memo;
memo[0] = 0;
return coinChangeDFS(coins, amount, memo);
}
int coinChangeDFS(vector<int>& coins, int target, unordered_map<int, int>& memo) {
if (target < 0) return - 1;
if (memo.count(target)) return memo[target];
int cur = INT_MAX;
for (int i = 0; i < coins.size(); ++i) {
int tmp = coinChangeDFS(coins, target - coins[i], memo);
if (tmp >= 0) cur = min(cur, tmp + 1);
}
return memo[target] = (cur == INT_MAX) ? -1 : cur;
}
};
动态规划
int change(int amount, int[] coins) {
int n = coins.length;
int[][] dp = amount int[n + 1][amount + 1];
// base case
for (int i = 0; i <= n; i++)
dp[i][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= amount; j++)
if (j - coins[i-1] >= 0)
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
+ dp[i][j - coins[i-1]];
else
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
return dp[n][amount];
}
更新 dp[i] 的方法就是遍历每个硬币，如果遍历到的硬币值小于i值（比如不能用值为5的硬币去更新 dp[3]）时，用 dp[i - coins[j]] + 1 来更新 dp[i]，所以状态转移方程为：
dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
其中 coins[j] 为第j个硬币，而 i - coins[j] 为钱数i减去其中一个硬币的值，剩余的钱数在 dp 数组中找到值，然后加1和当前 dp 数组中的值做比较，取较小的那个更新 dp 数组。
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, amount + 1);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount; ++i) {
for (int j = 0; j < coins.size(); ++j) {
if (coins[j] <= i) {
dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
}
}
}
return (dp[amount] > amount) ? -1 : dp[amount];
}
};
贪心 + DFS
- 贪心
-
想要总硬币数最少，肯定是优先用大面值硬币，所以对 coins 按从大到小排序
-
先丢大硬币，再丢会超过总额时，就可以递归下一层丢的是稍小面值的硬币
- 乘法对加法的加速
-
优先丢大硬币进去尝试，也没必要一个一个丢，可以用乘法算一下最多能丢几个
k = amount / coins[c_index]计算最大能投几个
amount - k * coins[c_index]减去扔了 k 个硬币
count + k 加 k 个硬币 -
如果因为丢多了导致最后无法凑出总额，再回溯减少大硬币数量
- 最先找到的并不是最优解
-
注意不是现实中发行的硬币，面值组合规划合理，会有奇葩情况
-
考虑到有 [1,7,10] 这种用例，按照贪心思路 10 + 1 + 1 + 1 + 1 会比 7 + 7 更早找到，所以还是需要把所有情况都递归完
- ans 疯狂剪枝
- 贪心虽然得不到最优解，但也不是没用的
- 我们快速算出一个贪心的 ans 之后，虽然还会有奇葩情况，但是绝大部分普通情况就可以疯狂剪枝了
class Solution {
public:
void coinChange(vector<int>& coins, int amount, int c_index, int count, int& ans){
if (amount == 0){
ans = min(ans, count);
return;
}
if (c_index == coins.size()) return;
for (int k = amount / coins[c_index]; k >= 0 && k + count < ans; k--){
coinChange(coins, amount - k * coins[c_index], c_index + 1, count + k, ans);
}
}
int coinChange(vector<int>& coins, int amount){
if (amount == 0) return 0;
sort(coins.rbegin(), coins.rend());
int ans = INT_MAX;
coinChange(coins, amount, 0, 0, ans);
return ans == INT_MAX ? -1 : ans;
}
};
零钱兑换 II
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1:
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2:
输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:
输入: amount = 10, coins = [10]
输出: 1
递归
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
if (amount == 0) return 1;
if (coins.empty()) return 0;
map<pair<int, int>, int> memo;
return helper(amount, coins, 0, memo);
}
int helper(int amount, vector<int>& coins, int idx, map<pair<int, int>, int>& memo) {
if (amount == 0) return 1;
else if (idx >= coins.size()) return 0;
// 当用到最后一个硬币时，判断当前还剩的钱数是否能整除这个硬币，不能的话就返回0，否则返回1。
else if (idx == coins.size() - 1) return amount % coins[idx] == 0;
if (memo.count({amount, idx})) return memo[{amount, idx}];
int val = coins[idx], res = 0;
for (int i = 0; i * val <= amount; ++i) {
int rem = amount - i * val;
res += helper(rem, coins, idx + 1, memo);
}
return memo[{amount, idx}] = res;
}
};
动态规划
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 2 | 2 |
| 3 | 0 | 1 | 2 | 2 |
| 4 | 0 | 1 | 3 | 4 |
| 5 | 0 | 1 | 3 | 4 |
需要一个二维的 dp 数组，其中 dp[i][j] 表示用前i个硬币组成钱数为j的不同组合方法，怎么算才不会重复，也不会漏掉呢？
我们采用的方法是一个硬币一个硬币的增加，每增加一个硬币，都从1遍历到 amount，对于遍历到的当前钱数j，组成方法就是不加上当前硬币的拼法 dp[i-1][j]，还要加上，去掉当前硬币值的钱数的组成方法，当然钱数j要大于当前硬币值，状态转移方程也在上面的分析中得到了：
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + (j >= coins[i - 1] ? dp[i][j - coins[i - 1]] : 0)
注意要初始化每行的第一个位置为0，参见代码如下：
C++
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<vector<int>> dp(coins.size() + 1, vector<int>(amount + 1, 0));
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= coins.size(); ++i) {
dp[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= amount; ++j) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + (j >= coins[i - 1] ? dp[i][j - coins[i - 1]] : 0);
}
}
return dp[coins.size()][amount];
}
};
python
class Solution:
def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
dp = [[0 for _ in range(amount + 1)] for _ in range(len(coins) + 1)]
# dp[i][j]的含义：
# j代表所需要金额
# i代表选到几种硬币，如
# i=0代表一种硬币都不用，
# i=1代表用coins[:1]类硬币（即只用coins[0]）,
# i=2代表用coins[:2]类硬币（即只用coins[0],coins[1]）,以此类推
# 初始化状态
for c in range(1, amount + 1):
dp[0][c] = 0 # 没有任何一种硬币，不论需要多少金额，都没有对应的方案数
for r in range(len(coins) + 1):
dp[r][0] = 1 # 如果金额为0，对多少种硬币来说都是1种方案
for r in range(1, len(coins) + 1):
for c in range(1, amount + 1):
dp[r][c] = dp[r - 1][c] # 不选当前指标r对应的硬币
if c - coins[r - 1] >= 0:
dp[r][c] += dp[r][c - coins[r - 1]] # 不选当前指标r对应的硬币
return dp[-1][-1]
对空间进行优化，由于 dp[i][j] 仅仅依赖于 dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - coins[i - 1]] 这两项，就可以使用一个一维dp数组来代替，此时的 dp[i] 表示组成钱数i的不同方法。
C++
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int coin : coins) {
for (int i = coin; i <= amount; ++i) {
dp[i] += dp[i - coin];
}
}
return dp[amount];
}
};
编辑距离
给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作：
- 插入一个字符
- 删除一个字符
- 替换一个字符
示例 1：
输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')
示例 2：
输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')
递归
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
int m = word1.size(), n = word2.size();
vector<vector<int>> memo(m, vector<int>(n));
return helper(word1, 0, word2, 0, memo);
}
int helper(string& word1, int i, string& word2, int j, vector<vector<int>>& memo) {
if (i == word1.size()) return (int)word2.size() - j;
if (j == word2.size()) return (int)word1.size() - i;
if (memo[i][j] > 0) return memo[i][j];
int res = 0;
if (word1[i] == word2[j]) {
return helper(word1, i + 1, word2, j + 1, memo);
} else {
int insertCnt = helper(word1, i, word2, j + 1, memo);
int deleteCnt = helper(word1, i + 1, word2, j, memo);
int replaceCnt = helper(word1, i + 1, word2, j + 1, memo);
res = min(insertCnt, min(deleteCnt, replaceCnt)) + 1;
}
return memo[i][j] = res;
}
};
动态规划
| 0 | h | o | r | s | e | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| r | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 |
| o | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 3 |
| e | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 3 |
当 word1[i] == word2[j] 时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]，
其他情况时，dp[i][j] 是其左，左上，上的三个值中的最小值加1，其实这里的左，上，和左上，分别对应的增加，删除，修改操作，具体可以参见解法一种的讲解部分，那么可以得到状态转移方程为：
/ dp[i - 1][j - 1] if word1[i - 1] == word2[j - 1]
dp[i][j] =
\ min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) + 1 else
C++
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
int m = word1.size(), n = word2.size();
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
for (int i = 0; i <= m; ++i) dp[i][0] = i;
for (int i = 0; i <= n; ++i) dp[0][i] = i;
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) + 1;
}
}
}
return dp[m][n];
}
};
python
int minDistance(String s1, String s2) {
int m = s1.length(), n = s2.length();
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
// base case
for (int i = 1; i <= m; i++)
dp[i][0] = i;
for (int j = 1; j <= n; j++)
dp[0][j] = j;
// 自底向上求解
for (int i = 1; i <= m; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (s1.charAt(i-1) == s2.charAt(j-1))
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
else
dp[i][j] = min(
dp[i - 1][j] + 1,
dp[i][j - 1] + 1,
dp[i-1][j-1] + 1
);
// 储存着整个 s1 和 s2 的最小编辑距离
return dp[m][n];
}
int min(int a, int b, int c) {
return Math.min(a, Math.min(b, c));
}
鸡蛋掉落
你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。
每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。
你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。
你的目标是确切地知道 F 的值是多少。
无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？
示例 1：
输入：K = 1, N = 2
输出：2
解释：
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。
示例 2：
输入：K = 2, N = 6
输出：3
示例 3：
输入：K = 3, N = 14
输出：4
提示：
1 <= K <= 1001 <= N <= 10000
动态规划
两个变量，鸡蛋数K和楼层数N，使用一个二维数组 DP，其中 dp[i][j] 表示有i个鸡蛋，j层楼要测需要的最小操作数。那么我们在任意k层扔鸡蛋的时候就有两种情况（注意这里的k跟鸡蛋总数K没有任何关系，k的范围是 [1, j]）：
- 鸡蛋碎掉：接下来就要用
i-1个鸡蛋来测 k-1 层，所以需要dp[i-1][k-1]次操作。 - 鸡蛋没碎：接下来还可以用
i个鸡蛋来测j-k层，所以需要dp[i][j-k]次操作。
因为我们每次都要面对最坏的情况，所以在第j层扔，需要max(dp[i-1][k-1], dp[i][j-k])+1步，状态转移方程为：
dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i - 1][k - 1], dp[i][j - k]) + 1) ( 1 <= k <= j )
这种写法会超时 Time Limit Exceeded，OJ 对时间卡的还是蛮严格的，所以我们就需要想办法去优化时间复杂度。
这种写法里面我们枚举了 [1, j] 范围所有的k值，总时间复杂度为 O(KN^2)，若我们仔细观察 dp[i - 1][k - 1] 和 dp[i][j - k]，可以发现前者是随着k递增，后者是随着k递减，且每次变化的值最多为1，所以只要存在某个k值使得二者相等，那么就能得到最优解，否则取最相近的两个k值做比较，由于这种单调性，我们可以在 [1, j] 范围内对k进行二分查找，找到第一个使得 dp[i - 1][k - 1] 不小于 dp[i][j - k] 的k值，然后用这个k值去更新 dp[i][j] 即可，这样时间复杂度就减少到了 O(KNlgN)，其实也是险过，参见代码如下：
class Solution {
public:
int superEggDrop(int K, int N) {
vector<vector<int>> dp(K + 1, vector<int>(N + 1));
for (int j = 1; j <= N; ++j) dp[1][j] = j;
for (int i = 2; i <= K; ++i) {
for (int j = 1; j <= N; ++j) {
dp[i][j] = j;
int left = 1, right = j;
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (dp[i - 1][mid - 1] < dp[i][j - mid]) left = mid + 1;
else right = mid;
}
dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i - 1][right - 1], dp[i][j - right]) + 1);
}
}
return dp[K][N];
}
};
对于固定的k，dp[i][j-k] 会随着j的增加而增加，最优决策点也会随着j单调递增，所以在每次移动j后，从上一次的最优决策点的位置来继续向后查找最优点即可，这样时间复杂度就优化到了 O(KN)，我们使用一个变量s表示当前的j值下的的最优决策点，然后当j值改变了，我们用一个 while 循环，来找到第下一个最优决策点s，使得 dp[i - 1][s - 1] 不小于 dp[i][j - s]，参见代码如下：
class Solution {
public:
int superEggDrop(int K, int N) {
vector<vector<int>> dp(K + 1, vector<int>(N + 1));
for (int j = 1; j <= N; ++j) dp[1][j] = j;
for (int i = 2; i <= K; ++i) {
int s = 1;
for (int j = 1; j <= N; ++j) {
dp[i][j] = j;
while (s < j && dp[i - 1][s - 1] < dp[i][j - s]) ++s;
dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i - 1][s - 1], dp[i][j - s]) + 1);
}
}
return dp[K][N];
}
};
将问题转化一下，变成已知鸡蛋个数，和操作次数，求最多能测多少层楼的临界点。还是使用动态规划 来做，用一个二维 DP 数组，其中 dp[i][j] 表示当有i次操作，且有j个鸡蛋时能测出的最高的楼层数。再来考虑状态转移方程如何写，由于 dp[i][j] 表示的是在第i次移动且使用第j个鸡蛋测试第 dp[i-1][j-1]+1 层，因为上一个状态是第i-1次移动，且用第j-1个鸡蛋。此时还是有两种情况：
- 鸡蛋碎掉：说明至少可以测到的不会碎的层数就是
dp[i-1][j-1]。 - 鸡蛋没碎：那这个鸡蛋可以继续利用，此时我们还可以再向上查找
dp[i-1][j]层。
那么加上当前层，总共可以通过i次操作和j个鸡蛋查找的层数范围是[0, dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j] + 1]，这样就可以得到状态转移方程如下：
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j] + 1
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||||
| 2 | 0 | 1 | 3 | 6 | 10 | ||||||||||
| 3 | 0 | 1 | 3 | 7 | 14 |
当 dp[i][K] 正好小于N的时候，i就是我们要求的最小次数了，参见代码如下：
class Solution {
public:
int superEggDrop(int K, int N) {
vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(K + 1));
int m = 0;
while (dp[m][K] < N) {
++m;
for (int j = 1; j <= K; ++j) {
dp[m][j] = dp[m - 1][j - 1] + dp[m - 1][j] + 1;
}
}
return m;
}
};
进一步的优化空间，因为当前的操作次数值的更新只跟上一次操作次数有关，所以我们并不需要保存所有的次数，可以使用一个一维数组，其中 dp[i] 表示当前次数下使用i个鸡蛋可以测出的最高楼层。状态转移方程的推导思路还是跟上面一样，参见代码如下：
class Solution {
public:
int superEggDrop(int K, int N) {
vector<int> dp(K + 1);
int res = 0;
for (; dp[K] < N; ++res) {
for (int i = K; i > 0; --i) {
dp[i] = dp[i] + dp[i - 1] + 1;
}
}
return res;
}
};