这个题看似很复杂 但我们仔细想想其实就比较简单了
假设我们要让N个数的gcd为x (显然x的取值为1到k) 那么我们可以在这N个数里面填 1*x,2*x,3*x...i*x 其中i=k/x 但我们发现 这样去填的话很有可能出现gcd大于x的情况 怎么减去这些情况呢 我们需要合理的容斥
我们可以从大向小计算 以ans[x] 表示gcd为x时有多少种填充方法
假如N=6,K=6
那我们从gcd等于6开始算 若要gcd等于6 我们有 k/6个数可填 总共有 (k/6)^N种填法 显然gcd等于6的时候不需要减去其他情况 因为它已经是最大了 我们用同样的方法计算 gcd=5,gcd=4
到gcd=3的时候 要注意 我们 有(k/3)即2个数可填(3和6) 总共有 (2^N)种填法 显然这里面包括了gcd为6的情况 我们得减去
到gcd=2的时候 显然它包括了gcd=4 和 gcd=6的情况 我们都需要减去
这时候我们就可以看出逆序遍历的正确性了
#include<stdio.h>
#define mod 1000000007
#define ll long long
ll n,k;
ll ans[100010];
ll quickpow(ll a,ll b){
ll ans=1;
while(b!=0){
if(b%2==1)ans=(ans%mod*a%mod)%mod;
b=b/2;
a=(a%mod*a%mod)%mod;
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%lld %lld",&n,&k);
for(ll i=k;i>=1;i--){
ans[i]=quickpow(k/i,n);
for(ll j=(ll)2*i;j<=k;j=j+i){
ans[i]=(ans[i]-ans[j]+mod)%mod;
}
}
ll res=0;
for(ll i=1;i<=k;i++){
res=(res+i*ans[i])%mod;
}
printf("%lld\n",res);
}