最短路学习笔记

Dijkstra

• 给定一张有向/无向图,边权为非负整数,求s到所有点的最短路。
• 初始时我们将s打上标记。对于每个未标记的点i,我们记f[i]表示s到i,,初始时为正无穷。只经过已标记的点的最短路。
• 每次我们找到未标记的点中f最小的,将它打上标记并更新其余点的f值。
• 时间复杂度O(n^2),用堆维护f值可以优化至O(mlogn)

SPFA

• 给定一张有向/无向图,求s到所有点的最短路。
• 对于每个点i,我们记f[i]表示目前s到i的最短路,初始时为正无穷。
• 初始时将s加入队列,每次取出队首元素,用它更新别的点的f值。如果一个点的f值变小了并且它不在队列中,就将它加入队列。队列为空时结束。
• 如果不存在负权环,那么每个点最多加入队列n-1次。
• 时间复杂度O(nm),但通常跑得很快。

Floyd

• 给定一张有向/无向图,保证不存在负权环,求任意两点间的最短路。
• 用f[i][j][k]表示只经过编号<=i的点时,j到k的最短路。
• f[i][j][k]=min(f[i-1][j][k],f[i-1][j][i]+f[i-1][i][k])
• 时间复杂度O(n^3)