东东与 ATM（多种背包）

问题描述

一家银行计划安装一台用于提取现金的机器。
机器能够按要求的现金量发送适当的账单。
机器使用正好N种不同的面额钞票，例如 $D_k，k = 1,2,…,N$ ，并且对于每种面额 $D_k$ ，机器都有 $n_k$ 张钞票。
例如，
$N = 3，$
$n_1 = 10，D_1 = 100，$
$n_2 = 4，D_2 = 50，$
$n_3 = 5，D_3 = 10$
表示机器有10张面额为100的钞票、4张面额为50的钞票、5张面额为10的钞票。
东东在写一个 ATM 的程序，可根据具体金额请求机器交付现金。
注意，这个程序计算程序得出的最大现金少于或等于可以根据设备的可用票据供应有效交付的现金。

Input

程序输入来自标准输入。输入中的每个数据集代表特定交易，其格式为： $Cash \quad N\quad n_1\quad D_1\quad n_2\quad D_2\quad ...\quad n_N\quad D_N$ 其中0 <= Cash <= 100000是所请求的现金量，0 <= N <= 10是纸币面额的数量，0 <= $n_k$ <= 1000是Dk面额的可用纸币的数量，1 <= $D_k$ <= 1000，k = 1，N。输入中的数字之间可以自由出现空格。输入数据正确。

Output

对于每组数据，程序将在下一行中将结果打印到单独一行上的标准输出中。

Sample input

735 3  4 125  6 5  3 350
633 4  500 30  6 100  1 5  0 1
735 0
0 3  10 100  10 50  10 10

Sample output

Hint

第一个数据集指定一笔交易，其中请求的现金金额为 735。机器包含3种面额的纸币：4张钞票 125、6张钞票 5和3张钞票 350。机器可以交付所需现金的确切金额。
在第二种情况下，机器的票据供应不能满足所要求的确切现金数量。可以交付的最大现金为 630。请注意，在机器中组合钞票以匹配交付的现金有多种可能性。

在第三种情况下，机器是空的，没有现金交付。在第四种情况下，请求的现金金额为 0，因此机器不交付现金。

解题思路

这是一个裸的多重背包题，Cash是背包容量， $n_k$ 是物品数量， $D_k$ 是物品价值，也是物品重量。这里用到了多重背包的二进制拆分优化，当 $n_k$ 的数量极大时，能做到较高的优化。

优化方法是利用每个正整数都可以由 $2^0, 2^1, 2^2, 2^3,\cdots$ 组成，我们可以将一个数拆分。比如 $7=(111)_2$ ，那么我们就可以将7拆分成100, 010, 001，也就是4，2，1。这三个数可以组成1-7之间的任意数。所以7个物品就拆分成了三个物品，第一个物品时4倍单价，第二个是2倍单价，第三个是单价。这样这三种物品是否选择就可以构成1-7个物品是否选择。

那么当我们要拆分的数是13的话怎么处理？由于 $13=(1101)_2$ ，我们不可能将其拆分成1000，0100，0001。因为这样有部分数据无法表示，比如2就没有办法表示。我们对这个的处理方法是将13化为7+6。其中7用上面的拆分方法可以表示1-7之间的任意数。第四个物品就是6倍的单价。如果第四个物品不选，前三个就可以构成选择1-7件物品的情况，如果第6种物品选择，就是 $1+6\sim 7+6$ ，代表了选择7-13个的情况。这样13就拆成了四个物品。

当 $n_k$ 极大的时候，我们的效率能得到极大的提升，例如 $n_k=255$ 时，如果不使用二进制拆分，那么这种物品就要枚举1-255种情况分别表示第1个是否选择，第2个是否选择… … 。但是如果我们使用了二进制拆分，那么就可以拆分成8个物品，第 $i$ 个物品的价格是 $2^{i-1}$ 倍的单价。

完整代码

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma G++ optimize(2)
//#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn=10000+10;
const int maxm=100000+10;
int cash,N,n[11],d[11],dd[maxn],dp[maxm];
int getint(){
    int x=0,s=1; char ch=' ';
    while(ch<'0' || ch>'9'){ ch=getchar(); if(ch=='-') s=-1;}
    while(ch>='0' && ch<='9'){ x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*s;
}
int main(){
    //ios::sync_with_stdio(false);
    //cin.tie(0);
    while(cin>>cash>>N){
        for (int i=1; i<=N; i++)
            cin>>n[i]>>d[i];
        int cnt=0;
        for (int i=1; i<=N; i++){//二进制拆分
            int t=n[i];
            for (int k=1; k<=t; k<<=1){
                cnt++;
                dd[cnt]=k*d[i];
                t-=k;
            }
            if(t>0){
                cnt++;
                dd[cnt]=t*d[i];
            }
        }
        for (int i=1; i<=cnt; i++)//普通01
            for (int j=cash; j>=dd[i]; j--)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-dd[i]]+dd[i]);
        printf("%d\n",dp[cash]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
    }

    return 0;
}

龙征天

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