【东东与 ATM】多重背包+二进制拆分

题目

题意
一家银行计划安装一台用于提取现金的机器。
机器能够按要求的现金量发送适当的账单。
机器使用正好N种不同的面额钞票，例如D_k，k = 1,2,…,N，并且对于每种面额D_k，机器都有n_k张钞票。
例如，
N = 3，
n_1 = 10，D_1 = 100，
n_2 = 4，D_2 = 50，
n_3 = 5，D_3 = 10
表示机器有10张面额为100的钞票、4张面额为50的钞票、5张面额为10的钞票。
东东在写一个 ATM 的程序，可根据具体金额请求机器交付现金。
注意，这个程序计算程序得出的最大现金少于或等于可以根据设备的可用票据供应有效交付的现金。
Input
程序输入来自标准输入。 输入中的每个数据集代表特定交易，其格式为：Cash N n1 D1 n2 D2 … nN DN其中0 <= Cash <= 100000是所请求的现金量，0 <= N <= 10是 纸币面额的数量，0 <= nk <= 1000是Dk面额的可用纸币的数量，1 <= Dk <= 1000，k = 1，N。 输入中的数字之间可以自由出现空格。 输入数据正确。
Output
对于每组数据，程序将在下一行中将结果打印到单独一行上的标准输出中。
Sample Input
735 3 4 125 6 5 3 350
633 4 500 30 6 100 1 5 0 1
735 0
0 3 10 100 10 50 10 10
Sample Output
735
630
0
0
Hint
第一个数据集指定一笔交易，其中请求的现金金额为 735。 机器包含3种面额的纸币：4张钞票 125、6张钞票 5和3张钞票 350。 机器可以交付所需现金的确切金额。
在第二种情况下，机器的票据供应不能满足所要求的确切现金数量。 可以交付的最大现金为 630。 请注意，在机器中组合钞票以匹配交付的现金有多种可能性。
在第三种情况下，机器是空的，没有现金交付。 在第四种情况下，请求的现金金额为 0，因此机器不交付现金。

题目大意

本题首先给出已有的若干种面额的钞票和各类钞票数量，每次会给出一个目标交易额，要求我们用已有钞票得到可交付的最大现金，即可交付最大现金小于等于目标交易额。

解题思路

从本题要求可以看出这是一道典型的dp背包问题，进一步分析可以看出是多重背包问题。多重背包问题最好的解决办法还是使用二进制拆分优化。
二进制拆分的思路由于涉及到了二进制运算，所以思考起来有些复杂，但是其实很好理解。其中的关键部分就是将多个同种物品拆分成不同种物品，每种物品一个，总而转化成01背包问题。这里可以用7举例，假如说有7个单价为a的物品，那么将7进行二进制拆分可以得到4，2，1三个数，这三个数可以表示1~7之间任一数字，所以本质上在dp过程中和7个数一样。所以这种方法就把7个a拆分成了1个4a、1个2a和1个a。
本题运用的方法十分重要，所以需要学会且牢记，本题也可作为多重背包问题模板记录下来。

具体代码

#include<iostream>
#include<sstream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#define MAXN 100005
#define ll long long

using namespace std;

int f[100005];
int n[15],d[15],value[10005];
int cnt,t,m;

void split()  //二进制拆分
{
	cnt = 0;
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int tmp = n[i];
		for(int j = 1; j <= tmp; j <<= 1)
		{
			cnt++;
			value[cnt] = j * d[i];
			tmp -= j;
		}
		if(tmp > 0)
		{
			cnt++;
			value[cnt] = tmp * d[i];
		}
	}
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin >> t >> m)
    {
    	memset(f,0,sizeof(f));
    	for(int i = 1; i <= m; i++)
    	{
    	    cin >> n[i] >> d[i];
    	}
    	split();
    	for(int i = 1; i <= cnt; i++)  //01背包
    	{
    	    for(int j = t; j >= value[i]; j--)
    	    {
    	        f[j] = max(f[j],f[j-value[i]]+value[i]);
    	    }
    	}
    	cout << f[t] << endl;
	}
    return 0;
}