RSA密码的实现-你也能看的懂的python实现方法

代码已经放在GITHUB，需要自提：传送门

RSA真的是困扰了我很久，看着非常简单，但是p,q两个素数的问题，还是比较复杂。

网上好多代码，运行起来都有些问题，大部分是python2和python3的版本兼容问题，也为了加深印象，就自己写了一个，分享出来给大家。代码都做了详细注释，有什么问题欢迎指正！

下面我们来捋一捋RSA算法的实现过程：

首先要生成两个大素数 p, q (保密)

计算 n= pq，f(n) = (p-1)*(q-1). 【n公开，即N； f(n)即欧拉函数值，需要保密】

随机选取正整数 1 < e < f(n),满足gcd( e,f(n) ) ==1 . 【e是公开的加密密钥，即E 】

计算d,满足 d*e $\equiv$ 1（mod f(n)）. 【d是保密的解密密钥】

由此得到公钥（N,E），私钥（N,D）

加密变换：对于明文 m $\in$ $Z_{n}$ ,密文为 $c = m^{e} mod$ n.

解密变换：对于密文 c $\in$ $Z_{n}$ ,明文为 $m = c^{^{d}} mod$ n.

1.大素数生成

所以我们先来生成这两个素数，我们知道我们使用random库就可以生成一个随机数，但是我们怎么保证我们生成的数是素数呢？

于是就有了我们下面的内容：Miller-Rabin 素性检测

定义：设n>2是一个奇数，设 $n-1=2^{s}*m$ ，其中s是非负整数，m>0是奇数。如果

$b^{m} \equiv 1\left ( mod n\right )$

或者存在一个r，0 <= r < s ，使得 $b^{2^{r}m} \equiv -1\left ( mod n \right )= n-1\left ( mod n \right )$

则称n通过以b为基的Miller-Rabin素性检测。

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注意：1.这里通过素性检测只能证明该数可能是素数

2.不能通过素性检测则证明该数一定不是素数

这里基于上面的定义有两个定理：（是素性测试的依据）

设p>2是一个素数。对任意整数b>0，如果gcd（b，p）=1，则p一定能通过以b为基的Miller-Rabin测试

如果n>2是一个奇合数，则至多有（n-1）/4 个b， 0 <b<n , 使得n通过以b为基的Miller-Rabin测试

定理一就是我们常规的判断最大公约数的方法，大家都应该知道，不过这个在数字很大的时候，即使你从2~ $\sqrt{n}$ 之间逐个测试，在RSA算法的大数下，这也是一个不小的工作量。

下面我们来具体看看Miller-Rabin测试的具体描述：

设n>2是一个奇数，设 $n-1 = 2^{s}m$ ，其中s是非负整数，m>0是奇数，Miller-Rabin素性测试算法如下：

随机均匀的选取 b $\in$ {1，2，...，n-1}

r <-- 0 ; z <-- $b^{m}$ mod n. 如果z = 1 或者 z = n-1,则n通过测试；n可能是素数，结束；跳转第3步

如果 r = s-1，则 s 是合数，结束；否则跳转第四步

r <-- r+1 ; z <-- $z^{^{2}}mod$ n. 如果 z = n - 1，则 n 通过了测试，n可能是素数，结束；否则跳转第3步

这样判断的正确性至少为75%，出错概率小于25%，b的个数足够多时，更准确。

下面我给出python的代码实现：（部分做了微调）

# 针对随机取得p，q两个数的素性检测     
def miller_rabin_test(n):  # n为要检验得数
    p = n - 1
    r = 0
    # 寻找满足n-1 = 2^s  * m 的s,m两个数
    #  n -1 = 2^r * p
    while p % 2 == 0:  # 最后得到为奇数的p(即m)
        r += 1
        p /= 2
    b = random.randint(2, n - 2)  # 随机取b=（0.n）
    # 如果情况1    b得p次方  与1  同余  mod n
    if fastExpMod(b, int(p), n) == 1:
        return True  # 通过测试,可能为素数
    # 情况2  b得（2^r  *p）次方  与-1 (n-1) 同余  mod n
    for i in range(0,7):  # 检验六次
        if fastExpMod(b, (2 ** i) * p, n) == n - 1:
            return True  # 如果该数可能为素数，
    return False  # 不可能是素数

这里我们看到在测试的时候，使用到了大数的幂次取模，所以这里我们要先实现大数模的算法，如下：

# 模N大数的幂乘的快速算法
def fastExpMod(b, e, m):  # 底数，幂，大数N
    result = 1
    e = int(e)   #这里不转化的话，在python3下会出现type error
    while e != 0:
        if e % 2 != 0:  # 按位与
            e -= 1
            result = (result * b) % m
            #continue    可选
        e >>= 1
        b = (b * b) % m
    return result

下面给出大素数生成的代码吧：（上面的重复内容不再写出）

# 生成大素数：
def create_prime_num(keylength):  # 为了确保两素数乘积n  长度不会太长，使用keylength/2
    while True:
        # Select a random number n
        # n = random.randint(0, 1<<int(halfkeyLength))
        n = random.randint(0, keylength)
        if n % 2 != 0:
            found = True
            # 如果经过10次素性检测，那么很大概率上，这个数就是素数
            for i in range(0, 10):
                if miller_rabin_test(n):   #返回True  通过一轮测试
                    pass
                else:
                    found = False   #返回False则为合数，重新产生随机数
                    break
            if found:
                return n

我们得到生成的大素数之后，就比较简单了。

2.生成密钥

这里直接给出代码实现：

# 生成密钥（包括公钥和私钥）
def create_keys(keylength):
    p = create_prime_num(keylength / 2)   前面的生成大素数
    q = create_prime_num(keylength / 2)
    n = p * q
    # fn是euler函数值
    fn = (p - 1)*(q - 1)
    e = selectE(fn, keylength / 2)
    d = match_d(e, fn)
    return (n, e, d)


# 随机在（1，fn）选择一个E，  满足gcd（e,fn）=1
def selectE(fn, halfkeyLength):
    while True:
        # e and fn are relatively prime
        e = random.randint(0, fn)
        if math.gcd(e, fn) == 1:
            return e


# 根据选择的e，匹配出唯一的d
def match_d(e, fn):
    d = 0
    while True:
        if (e * d) % fn == 1:
            return d
        d += 1

至此我们得到了公钥和私钥。

3，加解密实现

#加密
def encrypt(M, e, n):
    return fastExpMod(M, e, n)
#解密
def decrypt( C, d, n):
    return fastExpMod(C, d, n)

4.测试截图：

可以完成读取文本的加密，注意标点符号如果是中文的标点，会出现乱码，但不会影响信息的读取。

最后程序是按照下面的思路进行了封装

加油加油！！！

我花了一辈子学会了小心，女人和小孩可以粗心大意，但是男人不行！------------《教父》

kinnisoy

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