多元高斯分布
p(x∣m,Σ)=(2π)D∣Σ∣
1e−21(x−m)⊤Σ−1(x−m)
或者
p(x∣m,Σ)=(2π)−D/2∣Σ∣−1/2exp(−21(x−m)⊤Σ−1(x−m))
其中
x,m∈RD,Σ∈RD×D.
记为
x∼N(m,Σ).
边际分布
假设
x,y 为联合高斯随机变量:
[xy]∼N([μxμy],[AC⊤CD])=N([μxμy],[A^C^⊤C^D^]−1)
则
x∼N(μx,A)
条件分布
假设
x,y 为联合高斯随机变量:
[xy]∼N([μxμy],[AC⊤CD])=N([μxμy],[A^C^⊤C^D^]−1)
则
x∣y∼N(μx+CB−1(y−μy),A−CB−1C⊤)
乘积
两个高斯分布的乘积为未归一化的高斯分布:
N(x∣a,A)N(y∣b,B)=Z−1N(x∣c,C)
其中
c=C(A−1a+B−1b)C=(A−1+B−1)−1Z=(2π)−D/2∣A+B∣−1/2exp(−21(a−b)⊤(A+B)−1(a−b))