堆和堆的构建
什么是堆
堆是一种特殊的二叉树，具备以下特性：
- 堆是一个完全二叉树
- 每个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其左右孩子节点的值
如果每个节点的值都大于等于左右孩子节点的值，这样的堆叫大顶堆；如果每个节点的值都小于等于左右孩子节点的值，这样的堆叫小顶堆。
上图中，左侧的堆是大顶堆，右侧的堆是小顶堆，我们还可以得出这个结论：对应大顶堆，堆顶一定是最大值；对于小顶堆，堆顶一定是最小值。
如何构建堆
我们在介绍二叉树的定义和存储的时候说到，由于完全二叉树的特殊性，可以通过数组来存储，堆也是完全二叉树，所以我们完全可以通过数组来存储。在使用数组存储堆的时候，把第一个索引位置留空，从第二个索引位置开始存储堆元素，这样，对于索引值为 i 的元素而言，其子节点索引分别为 2i 和 2i+1。
下面我们就来看如何在堆中插入新节点，以大顶堆为例，从叶子结点插入，如果比父级元素大，则与父级元素交换位置，依次类推，直到到达根节点（小顶堆恰好相反）：
注：构建堆的过程叫堆化
实现代码
下面是对应的 PHP 实现代码：
<?php
class Heap
{
private $a = [];
private $n;
private $count;
public function __construct($capacity = 10)
{
$this->n = $capacity;
$this->count = 0;
}
public function insert($data)
{
if ($this->count >= $this->n) {
return false;
}
$this->count++;
$this->a[$this->count] = $data;
$i = $this->count;
while (floor($i/2) > 0 && $this->a[floor($i/2)] < $this->a[$i]) {
$temp = $this->a[$i];
$this->a[$i] = $this->a[floor($i/2)];
$this->a[floor($i/2)] = $temp;
$i = $i / 2;
}
return true;
}
public function __toString()
{
return json_encode(array_values($this->a));
}
}
我们可以为这段代码编写一段测试代码：
$heap = new Heap();
$data = range(1, 10);
shuffle($data);
foreach ($data as $num) {
if (!$heap->insert($num)) {
break;
}
}
print_r($heap);
打印结果如下，符合堆定义，表明堆构建成功：
堆排序及其应用
堆排序
我们来继续看堆排序及其应用，堆排序的过程其实就是不断删除堆顶元素的过程。如果构建的是大顶堆，逐一删除后堆顶元素构成的序列是从大到小排序；如果构建的是小顶堆，逐一删除堆顶元素后构成的序列是从小到大排序。而这其中的原理，就是我们在上一篇提到的：对于大顶堆，堆顶一定是最大值；对于小顶堆，堆顶一定是最小值。
但是这里有一个问题，每次从堆顶删除元素后，需要从子节点中取值补齐堆顶，依次类推，直到叶子节点，就会致使存储堆的数组出现「空洞」：
解决办法是将数组中的最后一个元素（最右边的叶子节点）移到堆顶，再重新对其进行堆化：
这样，就完美解决了「数组空洞」的问题。
实现代码
下面我们将堆排序过程转化为对应的 PHP 实现代码如下：
<?php
class Heap
{
private $a = [];
private $n;
private $count;
public function __construct($capacity = 10)
{
$this->n = $capacity;
$this->count = 0;
}
public function insert($data)
{
if ($this->count >= $this->n) {
return false;
}
$this->count++;
$this->a[$this->count] = $data;
$i = $this->count;
while (floor($i/2) > 0 && $this->a[floor($i/2)] < $this->a[$i]) {
$temp = $this->a[$i];
$this->a[$i] = $this->a[floor($i/2)];
$this->a[floor($i/2)] = $temp;
$i = $i / 2;
}
return true;
}
public function remove() {
if ($this->count == 0)
return false;
$removeData = $this->a[1];
$this->a[1] = $this->a[$this->count];
$this->count--;
$i = 1; // 堆顶元素
while (true) {
$maxPos = $i;
if ($i*2 <= $this->count && $this->a[$i*2] > $this->a[$i]) {
$maxPos = 2 * $i;
}
if ($i*2 + 1 <= $this->count && $this->a[$i*2+1] > $this->a[$maxPos]) {
$maxPos = 2 * $i + 1;
}
if ($maxPos == $i) {
break;
}
$temp = $this->a[$i];
$this->a[$i] = $this->a[$maxPos];
$this->a[$maxPos] = $temp;
$i = $maxPos;
}
return $removeData;
}
public function __toString()
{
return json_encode(array_values($this->a));
}
}
我们可以结合堆化和删除方法，写一段测试代码：
$heap = new Heap();
$data = range(1, 10);
shuffle($data);
foreach ($data as $num) {
if (!$heap->insert($num)) {
break;
}
}
$sortedData = [];
while ($removedData = $heap->remove()) {
$sortedData[] = $removedData;
}
print_r($sortedData);
打印的结果如下：
说明堆排序成功，数据变成了从大到小的排序序列。
复杂度分析
我们先看时间复杂度，对堆排序而言，分为两个阶段，一个是堆的构建，一个是堆顶元素的删除。对于 n 个节点的堆化而言，通过数组存储，对应的时间复杂度是 O(n)，对于堆顶元素的删除而言，需要遍历 n 个节点，并且，每次删除后需要重新堆化，对应的平均时间复杂度是 O(nlogn)。所以综合下来，堆排序的时间复杂度和快速排序、归并排序一样，是 O(nlogn)。
堆排序的过程中，涉及到不相邻元素的交换（删除堆顶元素的时候），所以不是稳定的排序算法。
我们在删除堆顶元素的时候，使用了额外的存储空间存放被删除的堆顶元素，但是，我们也可以对这个过程进行优化，从而做到原地排序，感兴趣的同学可以试试。
堆排序的应用
- 优先级队列：在优先级队列中，数据的出队顺序不是先进先出，而是按照优先级来，优先级最高的，最先出队，背后的原理就是不断删除堆顶元素。
- 实现 TopK 排行榜：日常开发中，经常遇到类似求销售额 Top10，浏览数 Top10，点赞数 Top10 之类的需求，也可以通过堆排序来实现，原理就是维护一个大小为 K 的小顶堆，有新数据进入后，如果值比堆顶元素大，则删除堆顶元素，最终这个小顶堆就是 TopK 数据了。