分治策略
分解：将原问题划分成形式相同的子问题，规模可以不等，对半或2/3对1/3的划分。
解决：对于子问题的解决，很明显，采用的是递归求解的方式，如果子问题足够小了，就停止递归，直接求解。
合并：将子问题的解合并成原问题的解。
这里引出了一个如何求解子问题的问题，显然是采用递归调用栈的方式。因此，递归式与分治法是紧密相连的，使用递归式可以很自然地刻画分治法的运行时间。在这里本人需要说一下递归和分治的关系，**分治依托于递归，分治是一种思想，而递归是一种手段，递归式可以刻画分治算法的时间复杂度。**求解递归式的方法主要分为三种：代入法，递归数法，主方法。
代入法
基本步骤
- 先猜测解的形式, 确定它的某个界的存在
- 再用归纳法去证明
这种方法只适用于解的形式容易猜的情况. 需要靠经验
代入法的例子
T(n) = 2T(n/2) + n
-
猜测
上述等式可以转换为 T(n)/n = 2T(n/2)/n + 1
令 S(n) = T(n)/n
则S(n) = S(n/2) + 1
而这种形式与以下的等式很像(这是关键步骤)
lgn = lg (n/2) + 1 (此处lg2 = 1)
因此可以推测 T(n) / n = clgn (c是常数)
因此猜出其解为 T(n) = O(nlgn) -
数学归纳法证明这个解的合理性
直接代入去运算
递归树法
在递归树中，每个结点表示一个单一子问题的代价，子问题对应某次递归函数调用。我们将树中每层中的代价求和，得到每层代价，然后将所有层的代价求和，得到所有层次的递归调用的总代价。但是分析这个总代价的规模却不是件很容易的事情，有时需要用到很多数学的知识。
举例分析
根据上面的思想我们可以得出总代价：
主方法
例如，归并排序递归式 T(n) = 2T(n/2) + cn ，Strassen算法递归式 T(n) = 7T(n/2) + Θ(n2) 等等。
但是有了这些递归式还不够，我们需要确切的知道T(n)到底是多少，它与n的关系如何。
因此，讲述一种求解上述形式的递归式的一般方法，称为主方法。该方法简单易行，通常不需要借助纸笔演算。
递归式(4-1)描述的是这样一种算法的运行时间：它将规模为n的问题分解为a个子问题，每个子问题规模为n/b，其中a和b都是正常数。a个子问题递归地进行求解，每个花费时间T(n/b)。函数f(n)包含了问题分解和子问题解合并的代价。例如，描述Strassen算法的递归式中，a=7，b=2，f(n) = Θ(n2) 。
定理4.1（主定理）
令 a≥1 和 b>1 是常数，f(n) 是一个函数，T(n) 是定义在非负整数上的递归式：T(n) = aT(n/b) + f(n)
那么T(n)有如下渐进界：
让我们尝试了解主定理的含义。对于三种情况，我们都将函数 f(n) 与函数 nlogba 进行比较。直觉上，递归式的解取决于两个函数中的较大者。如情况一是 nlogba 较大，情况3是 f(n) 较大。而情况2是两者一样大，这种情况需要乘上一个对数因子。
需要注意的是，两个函数比较大小时必须确保多项式意义上的小于，也就是说，两者必须相差一个因子 nε，其中 ε 是大于0的常数。另外情况3还需要满足一个额外的条件。
使用主方法
主定理的直观理解
证明主定理
思路是画出递归树，并归纳每层结点的代价以及叶子结点的代价，总代价即是各部分代价之和。详细过程可参考《算法导论》4.6节
