算法导论：用主定理求解递归式 计算算法复杂度

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主定理公式: $T(n) = aT(n/b) + f(n)$

算法导论书上将算法复杂度的求解方法讲的很清楚，就分三种情况：

1. 当 $O(n^{log_{b}^{a}}) > O(f(n))$的时候， $T(O)=O(n^{log_{b}^{a}})$
2. 当 $O(n^{log_{b}^{a}}) = O(f(n))$的时候， $T(O)=O(n^{log_{b}^{a}} lg n)$
3. 当 $O(n^{log_{b}^{a}}) < O(f(n))$的时候， $T(O)=O(f(n))$

显然， $T(n)$将复杂度分为了 $aT(n/b)$的复杂度 $O(n^{log_{b}^{a}})$，和 $f(n)$的复杂度 $O(f(n))$两部分，两者谁大则取谁的值，如果相同，则为 $O(n^{log_{b}^{a}} lg n)$

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练习：

(1). 求： $T(n) = 2 T(n/4) + 1$

解： $a = 2, b = 4,$ 所以 $O(n^{log_{b}^{a}})$的值为 $O(\sqrt{n})$， $f(n)$的值为 $O(1)$， 所以 $O(n^{log_{b}^{a}}) > O(f(n))$，则 $T(O)=O(\sqrt{n})$

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(2). 求： $T(n) = 2 T(n/4) + \sqrt{n}$

解： $a = 2, b = 4,$ 所以 $O(n^{log_{b}^{a}})$的值为 $O(\sqrt{n})$， $f(n)$的值为 $O(\sqrt{n})$， 所以 $O(n^{log_{b}^{a}}) = O(f(n))$，则 $T(O)=O(\sqrt{n} lgn)$

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(3). 求： $T(n) = 2 T(n/4) + n$

解： $a = 2, b = 4,$ 所以 $O(n^{log_{b}^{a}})$的值为 $O(\sqrt{n})$， $f(n)$的值为 $O(n)$， 所以 $O(n^{log_{b}^{a}}) < O(f(n))$，则 $T(O)=O(n)$

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(4). 求： $T(n) = 2 T(n/4) + n^2$

解： $a = 2, b = 4,$ 所以 $O(n^{log_{b}^{a}})$的值为 $O(\sqrt{n})$， $f(n)$的值为 $O(n^2)$， 所以 $O(n^{log_{b}^{a}}) < O(f(n))$，则 $T(O)=O(n^2)$

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