[BZOJ4310]跳蚤-后缀数组-二分答案

跳蚤

Description

很久很久以前，森林里住着一群跳蚤。一天，跳蚤国王得到了一个神秘的字符串，它想进行研究。首先，他会把串分成不超过 k 个子串，然后对于每个子串 S，他会从S的所有子串中选择字典序最大的那一个，并在选出来的 k 个子串中选择字典序最大的那一个。他称其为“魔力串”。现在他想找一个最优的分法让“魔力串”字典序最小。

Input

第一行一个整数 k,K<=15
接下来一个长度不超过 10^5 的字符串 S。

Output

输出一行，表示字典序最小的“魔力串”。

Sample Input

2
ababa

Sample Output

ba

//解释：
分成aba和ba两个串，其中字典序最大的子串为ba

---

颓废十多天后的第一篇博客-_-
另外这题题面写错了，是最小化“魔力串”的字典序~

---

思路:

使最大值最小，可以考虑二分答案，即“魔力串”的字典序编号。

根据后缀数组的特性，字符串本质不同的子串数量为$sum=\sum n-sa[i]-height[i]+1$。
(式子中的”+1”与个人的后缀数组实现有关)
这个式子的含义是，排名相邻的两个后缀中，不同的前缀的方案数。

于是，二分的区间即为$1-sum$之间。
同时，根据这个式子，可以快速找出某个确定字典序排名对应的子串。

考虑二分一个答案后如何检验。
显然，方法为贪心地分段，若分段段数不超过$k$，则当前答案合法。
由于后缀数组考虑的是后缀的排名，那么从后往前考虑，每次在最前端添加一个字符时，判断当前段与二分的答案之间的排名先后顺序，若大于当前二分排名则需要在上一个位置处分一段，否则不进行分段。
查询串的字典序大小可以使用$height$数组做成$rmq$来快速实现。

于是这就完成了~

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef pair<int,int> pr;
typedef long long ll;
const int N=1e6+9;
const int K=23;

int n,k;
int wa[N],wb[N],wc[N];
int sa[N],rk[N],hi[N];
int st[N][K],logs[N];
char s[N];

inline int minn(int a,int b){return a>b?b:a;}

inline void calc(char *r,int n,int m)
{
    int *x=wa,*y=wb;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        wc[i]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        wc[x[i]=r[i]-'a'+1]++;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        wc[i]+=wc[i-1];
    for(int i=n;i>=1;i--)
        sa[wc[x[i]]--]=i;
    for(int j=1,p=0;j<=n && p<n;j<<=1,m=p,p=0)
    {
        for(int i=n-j+1;i<=n;i++)
            y[++p]=i;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(sa[i]>j)
                y[++p]=sa[i]-j;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            wc[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            wc[x[i]]++;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            wc[i]+=wc[i-1];
        for(int i=n;i>=1;i--)
            sa[wc[x[y[i]]]--]=y[i];

        swap(x,y);
        x[sa[1]]=p=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            if(y[sa[i]]==y[sa[i-1]] && y[sa[i]+j]==y[sa[i-1]+j])
                x[sa[i]]=p;
            else
                x[sa[i]]=++p;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)
        rk[sa[i]]=i;

    for(int i=1,p=1;i<=n;i++)
    {
        if(p)p--;
        if(rk[i]==n)continue;
        int j=sa[rk[i]+1];
        while(r[i+p]==r[j+p])p++;
        hi[rk[i]]=p;
    }
}

inline void build()
{
    logs[0]=-1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        logs[i]=logs[i>>1]+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        st[i][0]=hi[i];
    for(int i=1;i<=logs[n];i++)
        for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
            st[j][i]=minn(st[j][i-1],st[j+(1<<i-1)][i-1]);
}

inline int lcp(int l,int r)
{
    if(l==r)return n-l+1;
    l=rk[l];r=rk[r];
    if(l>r)swap(l,r);r--;
    int dt=logs[r-l+1];
    return minn(st[l][dt],st[r-(1<<dt)+1][dt]);
}

inline pr find(ll kth)
{
    static int p;
    for(p=1;p<=n && kth>n-sa[p]-hi[p-1]+1;p++)
        kth-=n-sa[p]-hi[p-1]+1;
    return pr(sa[p],sa[p]+hi[p-1]+kth-1);
}

inline int cmp(pr a,pr b)
{
    int la=a.second-a.first+1;
    int lb=b.second-b.first+1;
    int dt=lcp(a.first,b.first);
    if(la<=dt || lb<=dt)return la<=lb;
    return s[a.first+dt]<s[b.first+dt];
}

inline bool check(ll mid)
{
    pr kth=find(mid);
    for(int i=n,lst=n,cnt=1;i>=1;i--)
    {
        if(s[i]>s[kth.first])return 0;
        if(!cmp(pr(i,lst),kth))cnt++,lst=i;
        if(cnt>k)return 0;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    scanf("%d%s",&k,s+1);
    n=strlen(s+1);
    calc(s,n,26);
    build();

    ll sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum+=n-sa[i]-hi[i-1]+1;

    ll l=1,r=sum,ans=sum,mid;
    while(l<=r)
    {
        mid=l+r>>1;
        if(check(mid))
            r=mid-1,ans=mid;
        else
            l=mid+1;
    }

    pr ret=find(ans);
    for(int i=ret.first;i<=ret.second;i++)
        putchar(s[i]);
    return 0;
}