Vijos - [一本通 1.2 例 3]曲线(三分)

题目链接：https://vijos.org/d/ybttg/p/5c24bbe9f41362c9e1912767
时间限制：1000 ms 内存限制：512 MiB

题目描述

明明做作业的时候遇到了 $n$个二次函数 $S_i(x)= ax^2 + bx + c$，他突发奇想设计了一个新的函数 $F(x) = \max\{S_i(x)\}, i = 1\ldots n$。

明明现在想求这个函数在 $[0,1000]$的最小值，要求精确到小数点后四位，四舍五入。

输入格式

输入包含 $T$组数据，每组第一行一个整数 $n$；

接下来 $n$行，每行 $3$个整数 $a$, $b$, $c$，用来表示每个二次函数的 $3$个系数。注意：二次函数有可能退化成一次。

输出格式

每组数据输出一行，表示新函数 $F(x)$的在区间 $[0,1000]$上的最小值。精确到小数点后四位，四舍五入。

样例数据

样例输入

2
1
2 0 0
2
2 0 0
2 -4 2

样例输出

0.0000
0.5000

限制与提示

对于 $50\%$的数据， $1 \leq n \leq 100$；

对于 $100\%$的数据， $1 \leq T \leq 10,1 \leq n \leq 10^5, 0 \leq a \leq 100, 0 \leq |b| \leq 5000, 0 \leq |c| \leq 5000$。

题解

题意：求这个函数 $F(x)$在 $[0,1000]$的最小值。
思路：利用三分，首先把 $l \sim r$这个区间分成三部分( $ml$和 $mr$)。接下来就是判断，我们因为要求最小值，所以我们要使得左边的值尽可能的小，这样最左边就是最小的。接下来就是找出 $ml$和 $mr$的 $F(x)$，如果 $ml$的 $F(x)$值小于 $mr$的 $F(x)$值，那么就将 $r$向左边靠近，即 $r = mr$，否则 $l = ml$。

/* 
 * @Author: lzyws739307453 
 * @Language: C++ 
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-9;
const int MAXN = 1e5 + 5;
struct ios_in {
    inline char gc() {
        static char buf[MAXN], *l, *r;
        return (l == r) && (r = (l = buf) + fread(buf, 1, MAXN, stdin), l == r) ? EOF : *l++;
    }
    template <typename _Tp>
    inline ios_in & operator >> (_Tp &x) {
        static char ch, sgn;
        for (sgn = 0, ch = gc(); !isdigit(ch); ch = gc()) {
            if (!~ch) return *this;
            sgn |= ch == '-';
        }
        for (x = 0; isdigit(ch); ch = gc())
            x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ '0');
        sgn && (x = -x);
        return *this;
    }
}Cin;
int n, t;
int a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN];
double Check(double x) {
    double max_ = -1 / eps;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        max_ = max(max_, a[i] * x * x + b[i] * x + c[i]);
    return max_;
}
int main() {
    Cin >> t;
    while (t--) {
        Cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            Cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
        double l = 0, r = 1000;
        while (r - l > eps) {
            double ml = l + (r - l) / 3;
            double mr = r - (r - l) / 3;
            if (Check(ml) < Check(mr))
                r = mr;
            else l = ml;
        }
        printf("%.4lf\n", Check(l));
    }
    return 0;
}