通俗讲：自然语言处理（NLP）入门之N-gram语言模型。（朴素贝叶斯分类器的推导）

N-gram语言模型

N-gram是一种语言模型（Language model，这个后面讲），是一种概率模型。这个模型输入的是一个句子，输出的是一个概率（看完就懂这个是什么概率了）。

I love deep learning中如果给出l love ( ) learning.那么空中填入deep的概率就比填入apple的概率大。假设有这样一个句子，I love deep learning，用
$w_1$表示I,
用 $w_2$表示love,
用 $w_3$表示deep,
用 $w_4$表示learn，
那么： $p(i love deep learning)=p(w_1,w_2,w_3,w_4)=p(w_1)p(w_2|w_1)p(w_3|w_2,w_1)p(w_4|w_3,w_2,w_1)$很好理解，就是第一个词是I的概率，然后乘上已知第一个词是I第二个词是love的概率……整个下来就是这个句子的概率。直观来看，如果这个句子越常见、越自然，那么这个句子的概率就会更大。
那么怎么算这个 $p(w_2|w_1)$的概率呢?其实就是统计你的文本数据库中有多少个I love这个组合出现，然后除以I的数量（大概是这样，但是具体会有不同后面说），总之就是I love出现的次数越多， $p(love|I)$越大。
但是这个公式是有两个问题：

1. 参数空间过大。假设这个句子非常的长，那么第n个词就要基于前面n-1个词计算概率，参数是n-1，太多了。
2. 数据过于稀疏。简单的说就是并不是所有的词的组合都会出现，万一本文数据库中就刚好有某一个组合没有出现过，那么这个组合对应的概率就是0，这个句子的概率因为有一个因子是0，乘起来还是0就不好了。

为了解决第一个问题：
引入马尔可夫假设：模型的当前状态仅仅依赖于前面的几个状态。
这个假设简化了模型，减少的参数，假设仅仅依赖于前面两个状态的话，那么第n个词就只用基于前面的n-1和n-2个词，而不是从1到n-1所有的词，参数降低。
根据这个依赖数量，n-gram可以分为：

1. Bi-gram：仅仅依赖前面一个词，例如： $p(i)p(love|i)p(deep|love)p(learning|deep)$，bi这个英文前缀，表示两个，所以，这里其实就是“I love”、“love deep”、“deep learning”这样两单词的组合的意思；

2. Tri-gram:tri表示3个的意思，所以就是以来前面两个词，变成了 $p(i)p(love|i)p(deep|i,love)p(learning|deep,love)$

3. 这里也可以体会到n-gram中的n是一个什么含义。当然也可以弄个4-gram但是常用的就是2和3。

   这里举个例子：

   • i love deep learning
   • deep learning I love
   • I want apple
     这三句话就是我们的全部文本数据库了，我们想要得到 $p(love|i)$的概率，那么就是文本中i出现的次数，3次，i love出现了两次，那么这个概率就是 $2/3$.这里多了一个sos表示句子的开始start of sentence，eos就是end of sentent句子的结束。所以这里的i的概率其实不是 $p(i)$,而是 $p(i|sos)$。

4. Unigran：这是一个可能听说过，但是不怎么用的模型。就是每个单词单独考虑，完全不考虑单词之间的组合的一个模型。每一个单子自身就是独立的，用上面的例子就是： $p(i)p(love)p(deep)(learning)$，这个句子与deep learning love i在Unigram模型下没有区别。这里要再提到一个概念**bag of word(BOW)**词袋模型，这个模型其实就是Unigram一样，不考虑单词的顺序，只考虑单词的频率。举个例子来理解这个模型：

   • I love deep learning.
   • I love deep learning and machine learning.
     这两句话就是我们的所有的文本数据库，专业一点叫做语料库（corpus），就是我们的文本数据库。然后从语料库corpus中，找到所有出现的单词，然后做出一个词汇表vocabulary，在这个例子中我们的vocabulary就是：{i:0,love:1,deep:2,learning:3,and:4,machine:5}
     那么，根据BOW模型，第一个句子用BOW表示就是：[1,1,1,1,0,0],第二个句子就是:[1,1,1,2,1,1]这个就是表示对应单词出现的频率，跟单词在句子中什么位置出现的没有关系。（值得注意的是BOW现在已经不怎么用在NLP中了，而是图像处理中，但是用的也比较少，以了解为主）

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这样的模型可以做什么呢？

5. 词性标注：
   love可以表示名词，也可以表示动词。对数据库中所有的单词进行词性标注，然后判断I love的love是一个什么词性，就用n-gram模型： $p(动词|I的词性，love)=\frac{前一个词是代词，love是动词的组合的数量}{前面一个词是代词，不管love是什么词性的组合的数量}$
6. 文本类别判断之是否是垃圾邮件：
   数据库中有垃圾邮件和非垃圾邮件，然后根据模型可以知道垃圾邮件中有什么词组，比如：大甩卖、畅销这样的词汇。然后在根据这些内容，计算一个文本是否是垃圾邮件的概率。（这里讲的不细致，知道可以做这个就行了）
7. 文本主题的分析。这个关键在于寻找同义词，同义词的英文是（synonyms）；
8. 也可以做情感分析。经常用在电影评论上面，判断一个评论是正面评论（Positive）还是负面评论（Negtive），还是中立的（neutral）。也可以把文本细分成了六个情感类型：愤怒（Anger），厌恶（Disgust），恐惧（Fear），喜悦（Joy），悲伤（Sadness），惊喜（Surprise）

朴素贝叶斯

目前为止，读者应该能理解n-gram模型了，其中有unigram，bi-gram和tri-gram。然后unigram又提到了BOW模型作为了解。那么语言模型是什么东西呢？其实语言模型就是基于**朴素贝叶斯(naïve Bayesian)**的一个概率模型。

先简单说一下贝叶斯公式吧，这是啥公式： $P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$
或者可以写成这个样子： $P(A,B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$
然后贝叶斯定理解决的问题就是：已知 $P(B|A)$怎么得到 $P(A|B)$，这个其实很有用。就用上面的识别垃圾邮件作为例子，A就是{垃圾邮件，不是垃圾邮件}，B就是邮件中的信息，想到根据信息来判断是否是垃圾邮件的概率这个比较难，所以就变成了： $P(是垃圾邮件|信息)=\frac{P(信息|是垃圾邮件)P(是垃圾邮件)}{P(信息)}$用一个简单的例子，假设这个信息是这样一句话：日赚百万。我们可以去找垃圾邮件中“日赚百万”这个句子出现的概率，然后再根据所有语料库中垃圾邮件的比例，得到这个概率。至于分母的 $P(信息)$我们可以省略，为什么呢？因为最后我们要找到的是 $P(是垃圾邮件|信息)$和 $P(不是垃圾邮件|信息)$之间的概率，两者的分子相同，所以可以省略。好比1和1的概率就是50%和50%，那么10和10的概率也是50%和50%。

所以根据这个原理，我们把之前选择概率高的，改成选择打分高的。什么意思呢？之前可能是0.3，0.7，选择0.7这个类别。现在变成3，7，选择7这个类别。所做的改动就是把分母去掉就行了： $Score(B|A)=P(A|B)P(B)$

那么什么是naive Beyesian呢？我们已经讲完了，朴素贝叶斯是一种分类算法，思想就是求解在某个条件下，各个类别出现的概率，哪一个最大，就选择哪个类别。在上面的例子中，求解“日赚百万”这个信息下，邮件是“垃圾邮件”还是”不是垃圾邮件“这两个类别的概率，然后概率大的哪一个就是这个文本的类别。

所以朴素贝叶斯分类器的公式可以写成： $c^* = \argmax_{c}{P(c|a_1,a_2,...,a_n)}= \argmax_{c}{P(a_1,a_2,...,a_n|c)P(c)}$

• 其中 $c^*$就是最终判断的类别，然后c是所有类别中的一种，在上面的例子中，c就是”是垃圾邮件”或者“不是垃圾邮件”，其中的a就是已知的所有信息。
• 到这里，就可以把语言模型和n-gram区分开了，朴素贝叶斯分类器就是语言模型的基础，想象一个垃圾邮件，应该是有一段话的，不会光有四个字“日赚百万”。那么 $a_1$就是这段话的第一个句子，然后 $a_2$就是第二个句子。这就是一种语言模型。当然，用整个句子的话，可以是可以，但是不好（后面会说为什么不好）。假设我们这里的 $a_1$是一个词，然后 $a_2$是另外一个词，这样的话，就过渡到了之前讲的n-gram模型了。

朴素贝叶斯是基于一个假设的：已知信息a之间相互条件独立：
就是假设下面的公式是成立的： $P(a_1,a_2,...,a_n|c)=P(a_1|c)P(a_2|c)…P(a_n|c)=\prod_{i=1}^n{P(a_i|c)}$
然后把这个假设带到上面朴素贝叶斯分类器的公式中，就可以得到： $c^*=\argmax_c{P(c)\prod_{i=1}^n{P(a_i|c)}}$这个公式就是提到语言模型一定会看到的公式。现在回到之前的一个问题，为什么句子不好。假设a是个句子，那么 $P(a_i|c)$表示什么含义？表示在你的语料库中，这个句子出现的此时。一个句子一摸一样出现的次数能有几次？同样的含义可以用不同的句子说出来，所以如果用句子的话，这个 $P(a_i|c)$大概率是0。因此，使用词组，使用n-gram的方法会更加有实际意义。
做一个小结：
在NLP中假设提到了语言模型，请想到n-gram模型。然后能够知道什么是贝叶斯理论，以及朴素贝叶斯分类器及它的一个已知信息条件独立的假设。
最后的最后就是，这个语言模型是一个什么级别的呢？在自然语言处理中，处理一些任务，可以用基于天真贝叶斯的语言模型，当然也可以用机器的方法。不过两者并不是完全冲突，更多是两者的结合。
额外的概念：

• term-document matrix:有的读者可能会看到这个名词。这个矩阵是这样的，每一行都是一个语料库的文本，每一列示一个单词，用这个例子来解释：
  • I love deep learning.
  • I love deep learning and machine learning.
    那么这个矩阵的行表示的是：第一个文本，第二个文本
    列就是:i,love,deep, learning,and,machine
    这个矩阵就是：
    $1,1,1,1,0,0\\1,1,1,1,1,1$
    这个矩阵只是体现是否出现，而不是统计出现的次数。
• Named Entity Recognition，NER：这个是命名实体识别。这个任务可以用上面讲的语言模型实现，但是现在已经不用这么古老的方法了。这个任务的目的就是识别语料中的人名、地名、组织机构等命名实体，比方说知道李雷是一个名字，知道谷歌是一家公司，知道人民大道是一条马路的名字等等。