第三章命题逻辑的推理理论

第三章命题逻辑的推理理论

 

3.1推理的形式结构

 

数理逻辑的主要任务是用数学的方法研究推理.所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程,而前提是已知的命题公式集合,结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式.为此, 首先应该明确什么样的推理是正确的.

定义3.1设A1,A2,...Ak和B都是命题公式,若对于A1,A2,...,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值,或者A1^A2^…^Ak为假,或者当A1^A2^…^Ak为真时B也为真,则称由前提A1,A2,…,Ak推出结论B的推理是有效的或正确的,并称B是有效的结论.

关于定义3.1还需做以下几点说明

1. 由前提A1,A2,…,Ak推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关,前提是一个有限的公式集合.设前提为集合Γ,将由Γ推B的推理记为Γ├B.若推理是正确的,则记为Γ╞ B,否则记为|≠B.这里称├B或{A1,A2,…,Ak}├B为推理的形式结构
2. 设A1,A2,...,Ak,B中共出现n个命题变项,对于任一组赋值α1α2…αn(αi=0或1,i=1,2,…,n),前提和结论的取值情况有以下4种

1. A1^A2^...Ak为0，B为0；
2. A1^A2^...Ak为0，B为1；
3. A1^A2^...Ak为1，B为0；
4. A1^A2^...Ak为1，B为1；

由定义3.1可知,只要不出现情况(3),推理就是正确的,因而判断推理是否正确,就是判断是否会出现情况(3）

1. 由上面的讨论可知,推理正确并不能保证结论B一定成立,因为前提可能就不成立.这与人们通常对推理的理解是不同的,通常只能认为在正确的前提下推出正确的结论才是正确的.而在这里,如果前提不正确,不论结论正确与否,都说推理正确

例3.1判断下列推理是否正确

1. Ip,p→ql├q
2. Ip,q→pl├q

解：写出前提的合取式与结论的真值表,看是否出现前提合取式为真,而结论为假的情况

1. 由表3.1,没有出现前提合取式为真,结论为假的情况,因而推理正确,即{p,p→q}|=q
2. 由表3.1,当赋值为10时,前提的合取式为真,而结论为假,因而推理不正确,即{p,g→p}|≠q

 

对于例3.1中这样简单的推理,不难通过直接观察判断推理是否正确。如在(1)中,当q为假时,无论p是真还是假,P^(q→p)均为假,因而不会出现前提合取式为真,结论为假的情况,故推理正确.而在(2)中,当q为假,P为真时,出现了前提合取式为真,结论为假的情况,因而推理不正确

下面给出推理形式结构另一种等价的形式,为此,首先证明下面定理

定理3.1命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当A1^A2^…^Ak→B为重言式

证 必要性,若A1,A2,…,A,推B的推理正确,则对于A1,A2,…,Ak和B中所含命题变项的任意一组赋值,不会出现A1^A2^…^Ak为真且B为假的情况,因而在任何赋值下,蕴涵式A1^A2^…^Ak→B均为真,故它为重言式

充分性,若蕴涵式A1^A2^…^A→B为重言式,则对于任何赋值此蕴涵式均为真,因而不会出现前件为真后件为假的情况,即在任何赋值下,或者A1^A2^…^A4为假,或者A1^A2^…^Ak和B同时为真,故A1,A2,...,Ak推B的推理正确

由定理3.1,由前提A1,A2,…,Ak推B的推理的形式结构

{A1,A2,...,Ak}|-B (3.1)

等同于蕴涵式

A1^A2^…^A→B (3.2)

其中推理前提的合取式成了蕴涵式的前件,结论成了蕴涵式的后件.推理正确

{A1,A2,...,Ak}|=B (3.3)

等同于

A1^A2^…^A=>B (3.4)

其中=>同<=>个样是一种元语言符号，表示蕴涵式为重言式。

今后把推理的形式结构写成：

前提：A1,A2,...,Ak

结论:B

并且也把(3.2)式称作推理的形式结构,通过判断(3.2)式是否为重言式来确定推理是否正确.根据前2章的讨论,判断(3.2)式是否为重言式有下面3种方法

1. 真值表法
2. 等值演算法
3. 主析取范式法

现在可以将例3.1中的两个推理写成(3.5)的形式

(1)

前提：p,P→q

结论：q

推理的形式结构:(p^(P→q))→q

(2)

前提：p,q→q

结论：q

推理的形式结构:(p^(q→p))→q

由例3.1已知,(1)正确,即(p^(p→q))→q;而(2)不正确,记为(P^(q→p))≠>q.

例3.2判断下面推理是否正确

1. 若a能被4整除,则a能被2整除,a能被4整除.所以,a能被2整除
2. 若a能被4整除,则a能被2整除,a能被2整除.所以,a能被4整除
3. 下午马芳或去看电影或去游泳,她没去看电影.所以,她去游泳了
4. 若下午气温超过30℃,则王小燕必去游泳,若她去游泳,她就不去看电影了.所以,若王燕没去看电影,下午气温必超计了30℃

解 解上述类型的推理问题,首先应将简单命题符号化,然后分别写出前提、结论、推理的形式结构,接着进行判断

1. 设p:a能被4整除

q:a能被2整除

前提:p→q,p

结论:q

推理的形式结构:(p→q)^P→p (3.6)

由例3此推理正确,即(p→q)^p=>p

1. 设p,q的含义同(1)

前提:p->q,q

结论:p

推理的形式结构:(p→q)^q→p (3.7)

当然可用真值表法、等值演算、主析取范式等方法来判断(3.7)式是否为重言式,但在此推理中,容易看出,01是(3.7)式的成假赋值,所以此推理不正确

1. 设

p:马芳下午去看电影

q:马芳下午去游泳

前提:pVq,┓p

结论:q

推理的形式结构:((pVq)^┓p)→p (3.8)

用等值演算法来判断(3.8)式是否为重言式

((pVq)^┓p)->q

<=>((p^┓p)V(q^┓p))→q

<=>(qA┓p)->q

<=>┓qVPVq

<=>1

得证(3.8)式为重言式,所以推理正确

1. 设

p:下午气温超过30℃

q:王小燕去游泳

r:王小燕去看电影

前提:p→q,q→┓r

结论：┓r->p

推理的形式结构:((p→q)^(q→┓r)→(┓r→p)

用主析取范式法判(39)式是否为重言式

((p→q)^(q→┓r)→(┓r→p)

<=>┓((┓pVq)^(┓V┓r))V(rVp)

<=>((p∧q)V(q∧r))v(rVp)

<=>pVr (用两次吸收律)

<=>(p∧┓q∧┓r)V(P^┓q^r)V(p^q^┓r)

( p^q^r)V(┓p∧┓q^r)V(┓p^q∧r)

V(P∧┓q∧r)V(P^q∧r)

<=> m1,Vm3 Vm4Vm6 Vm7 (重排了序)

可见(3.9)式不是重言式(主析取范式中缺2个极小项m0和m2),所以推理不正确

有一些重要的重言蕴涵式,称为推理定律.下面给出9条推理定律,它们是:

 

其中A,B,C,D等是元语言符号,表示任意的命题公式

把具体的命题公式代入某条推理定律后就得到这条推理定律的一个代人实例.例如p=>pVq,p→q=>(p→q)Vr,p=> pvqvr等都是附加定律的代入实例,推理定律的毎一个代人实例都是重言式,可以使用这些推理定律证明推理正确.在下一节将看到,由这9条推理定律产生9条推理规则,构成一个推理系统中的推理规则集

除上述9条推理定律外,2.1节给出的24个等值式中的每一个都能产生出两条推理定律例如,双重否定律A<=>┓┓A产生两条推理定律A=>┓┓A和┓┓A=>A.