Java普利姆算法和克鲁斯卡尔算法

常用算法

一、普利姆算法

1. 应用场景–修路问题

• 一个地区有7个村庄(A，B，C，D，E，F，G)，现在需要修路把7个村庄连通
• 各个村庄的距离用边上的权值表示，比如A–B的距离为5公里
• 要保证各个村子连通，且总的公路里程最短

2. 最小生成树

1. 给定一个带权的无向连通图，如何选择一棵生成树，使树上所有的边上的权的总和为最小，则此树称为最小生成树
2. N个顶点一定有N-1条边
3. 包含全部顶点

3. 算法概述

1. 普利姆算法求最小生成树，也就是包含n个顶点的连通图中，找出(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是极小连通子图
2. 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
3. 若顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
4. 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边(ui,vj)加入集合D中，标记visited[vj]=1
5. 重复步骤3，知道U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

4. 代码演示

package Algorithm;

import java.util.Arrays;

/**
 * @author DELL
 * @Date 2020/2/19 19:29
 **/
public class PrimAlgorithm {
    public static void main(String[] args) {
        char[] data = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        int vertex = data.length;
        //10000表示两个点不连通
        int[][] weight = {
                {10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
                {5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
                {7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
                {10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
                {10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
                {10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
                {2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},};
        Graph graph = new Graph(vertex);
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, vertex, data, weight);
        minTree.prim(graph, 0);
    }
}

class MinTree {
    /**
     * 创建图的邻接矩阵
     *
     * @param graph  图对象
     * @param vertex 图对应的顶点个数
     * @param data   图的各个顶点的值
     * @param weight 图的邻接矩阵的权值
     */
    public void createGraph(Graph graph, int vertex, char[] data, int[][] weight) {
        for (int i = 0; i < vertex; i++) {
            graph.data[i] = data[i];
            for (int j = 0; j < vertex; j++) {
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }
    }

    /**
     * 生成最小生成树
     *
     * @param graph 图对象
     * @param v     表示从第v个节点开始
     */
    public void prim(Graph graph, int v) {
        //表示节点是否被访问过，访问过用1表示
        int[] visited = new int[graph.vertex];
        //把当前节点表示为已访问
        visited[v] = 1;
        //h1和h2用来标记加入最小生成树中的节点坐标
        int h1 = -1;
        int h2 = -1;
        int minWeight = 10000;
        for (int i = 1; i < graph.vertex; i++) {//有graph.vertex个顶点，需要生成graph.vertex-1条边，所以i从1开始
            for (int j = 0; j < graph.vertex; j++) {
                for (int k = 0; k < graph.vertex; k++) {
                    if (visited[j] == 1 && visited[k] == 0 && graph.weight[j][k] < minWeight) {
                        minWeight = graph.weight[j][k];
                        h1 = j;
                        h2 = k;
                    }
                }
            }
            //找到一条最小边
            System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + ">权值：" + minWeight);
            //将节点标记为已经访问过
            visited[h2] = 1;
            //重置minWeight
            minWeight = 10000;
        }
    }

}

class Graph {
    int vertex;//表示图的节点个数
    char[] data;
    int[][] weight;

    public Graph(int vertex) {
        this.vertex = vertex;
        this.data = new char[vertex];
        this.weight = new int[vertex][vertex];
    }
}

二、克鲁斯卡尔算法

1. 应用场景–公交站问题

• 某个城市新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个站点连通
• 各个站点的距离用边线表示(权)，例如A-B距离12公里
• 问：如何保证各个站点都连通，并且总的修建公路总里程最短？

2. 算法概述

• 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法
• 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证n-1条边不构成回路
• 具体做法：首先构造一个只含有n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择加入到森林中，并是森林中不产生回路，直到森林变成一棵树为止

3. 代码演示

package Algorithm;

import java.util.Arrays;

/**
 * @author DELL
 * @Date 2020/2/20 17:11
 **/
public class KruskalCrAlgorithm {
    private int edgeNum;//边的个数
    private char[] vertex;//顶点个数
    private int[][] matrix;//邻接矩阵
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;

    public static void main(String[] args) {
        char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        int[][] matrix = {
                {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
                {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
                {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
                {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
                {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
                {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
                {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
        KruskalCrAlgorithm kruskal = new KruskalCrAlgorithm(vertex, matrix);
        kruskal.kruskal();
    }

    public KruskalCrAlgorithm(char[] vertex, int[][] matrix) {
        int len = vertex.length;
        this.vertex = new char[len];
        //使用赋值拷贝方式初始化
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            this.vertex[i] = vertex[i];
        }
        this.matrix = new int[len][len];
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
            for (int j = 0; j < matrix[0].length; j++) {
                this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
            }
        }
        //统计边的个数
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            for (int j = i + 1; j < len; j++) {
                if (matrix[i][j] != INF) {
                    edgeNum++;
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 克鲁斯卡尔算法核心
     */
    public void kruskal() {
        int index = 0;//表示最后结果数组的索引
        int[] ends = new int[edgeNum];//保存最小生成树中顶点对应的终点的下标
        EdgeData[] result = new EdgeData[edgeNum];//用于保存最小生成树的结果
        EdgeData[] edges = getEdges();//获取图中所有的边
        sortEdges(edges);//对边从小到大排序
        //遍历edges，将边添加到最小生成树中
        for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
            //获取边的起点
            int p1 = getPosition(edges[i].start);//p1=4
            //获取边的终点
            int p2 = getPosition(edges[i].end);//p2=5
            //获取p1在最小生成树中的终点
            int m = getEnd(ends, p1);//m=4
            //获取p2在最小生成树中的终点
            int n = getEnd(ends, p2);//n=5
            //判断p1和p2是否构成回路
            if (m != n) {//没有构成回路
                ends[m] = n;//设置m在最小生成树中的终点为n，例如<E,F>[0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]即4的终点为5
                result[index++] = edges[i];//将一条边加入数组中
            }
        }
        //打印最小生成树
        for (int i = 0; i < index; i++) {
            System.out.println(result[i]);
        }
    }

    /**
     * 对边进行排序
     *
     * @param edges
     */
    public void sortEdges(EdgeData[] edges) {
        for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
            for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
                if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {
                    EdgeData temp = edges[j + 1];
                    edges[j + 1] = edges[j];
                    edges[j] = temp;
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 返回顶点对应的下标
     *
     * @param ch
     * @return 找到则返回对应下标，否则返回-1
     */
    private int getPosition(char ch) {
        for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
            if (vertex[i] == ch) {//找到
                return i;
            }
        }
        //没找到
        return -1;
    }

    /**
     * 获取图中的边，存放在数组中
     *
     * @return 返回对应的数组
     */
    private EdgeData[] getEdges() {
        int index = 0;
        EdgeData[] edges = new EdgeData[edgeNum];
        for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
            for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) {
                if (matrix[i][j] != INF) {
                    edges[index++] = new EdgeData(vertex[i], vertex[j], matrix[i][j]);
                }
            }
        }
        return edges;
    }

    /**
     * 获取下标为i的顶点的终点
     *
     * @param ends 数组记录各个顶点对应的终点是哪一个
     * @param i    传入顶点对应的下标
     * @return 返回下标为i的这个顶点对应的终点的下标
     */
    private int getEnd(int[] ends, int i) {
        while (ends[i] != 0) {
            i = ends[i];
        }
        return i;
    }
}

//边的信息
class EdgeData {
    char start;//边的起点
    char end;//边的终点
    int weight;//边的权值

    public EdgeData(char start, char end, int weight) {
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "EdgeData <" + start + "," + end + ">=" + weight;
    }
}