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最小生成树
用来解决工程中的代价问题。
一：普里姆算法
具体代码用C语言实现如下：
typedef int VRType;
typedef char InfoType;
#define MAX_NAME 3 /* 顶点字符串的最大长度+1 */
#define MAX_INFO 20 /* 相关信息字符串的最大长度+1 */
typedef char VertexType[MAX_NAME];
#include<string.h>
#include<ctype.h>
#include<malloc.h> /* malloc()等 */
#include<limits.h> /* INT_MAX等 */
#include<stdio.h> /* EOF(=^Z或F6),NULL */
#include<stdlib.h> /* atoi() */
#include<io.h> /* eof() */
#include<math.h> /* floor(),ceil(),abs() */
#include<process.h> /* exit() */
/* 函数结果状态代码 */
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define OK 1
#define ERROR 0
#define INFEASIBLE -1
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int Boolean; /* Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE */
#define MAX_NAME 5 /* 顶点字符串的最大长度 */
typedef int InfoType;
typedef char VertexType[MAX_NAME]; /* 字符串类型 */
/* 图的邻接表存储表示 */
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef enum{DG,DN,AG,AN}GraphKind; /* {有向图,有向网,无向图,无向网} */
typedef struct ArcNode
{
int adjvex; /* 该弧所指向的顶点的位置 */
struct ArcNode *nextarc; /* 指向下一条弧的指针 */
InfoType *info; /* 网的权值指针） */
}ArcNode; /* 表结点 */
typedef struct
{
VertexType data; /* 顶点信息 */
ArcNode *firstarc; /* 第一个表结点的地址,指向第一条依附该顶点的弧的指针 */
}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; /* 头结点 */
typedef struct
{
AdjList vertices;
int vexnum,arcnum; /* 图的当前顶点数和弧数 */
int kind; /* 图的种类标志 */
}ALGraph;
/* 图的邻接表存储的基本操作(15个) */
int LocateVex(ALGraph G,VertexType u)
{ /* 初始条件: 图G存在,u和G中顶点有相同特征 */
/* 操作结果: 若G中存在顶点u,则返回该顶点在图中位置;否则返回-1 */
int i;
for(i=0;i<G.vexnum;++i)
if(strcmp(u,G.vertices[i].data)==0) //比较顶点是否相等
return i;
return -1;
}
Status CreateGraph(ALGraph *G)
{ /* 采用邻接表存储结构,构造没有相关信息的图G(用一个函数构造4种图) */
int i,j,k;
int w; /* 权值 */
VertexType va,vb;
ArcNode *p;
printf("请输入图的类型(有向图:0,有向网:1,无向图:2,无向网:3): ");
scanf("%d",&(*G).kind);
printf("请输入图的顶点数,边数: ");
scanf("%d,%d",&(*G).vexnum,&(*G).arcnum);
printf("请输入%d个顶点的值(<%d个字符):\n",(*G).vexnum,MAX_NAME);
for(i=0;i<(*G).vexnum;++i) /* 构造顶点向量 */
{
scanf("%s",(*G).vertices[i].data);
(*G).vertices[i].firstarc=NULL;
}
if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 网 */
printf("请顺序输入每条弧(边)的权值、弧尾和弧头(以空格作为间隔):\n");
else /* 图 */
printf("请顺序输入每条弧(边)的弧尾和弧头(以空格作为间隔):\n");
for(k=0;k<(*G).arcnum;++k) /* 构造表结点链表 */
{
if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 网 */
scanf("%d%s%s",&w,va,vb);
else /* 图 */
scanf("%s%s",va,vb);
i=LocateVex(*G,va); /* 弧尾 */
j=LocateVex(*G,vb); /* 弧头 */
p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
p->adjvex=j;
if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 网 */
{
p->info=(int *)malloc(sizeof(int));
*(p->info)=w; //网的权值指针
}
else
p->info=NULL; /* 图 */
p->nextarc=(*G).vertices[i].firstarc; /* 插在表头 */
(*G).vertices[i].firstarc=p;
if((*G).kind>=2) /* 无向图或网,产生第二个表结点 */
{
p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
p->adjvex=i;
if((*G).kind==3) /* 无向网 */
{
p->info=(int*)malloc(sizeof(int));
*(p->info)=w;
}
else
p->info=NULL; /* 无向图 */
p->nextarc=(*G).vertices[j].firstarc; /* 插在表头 */
(*G).vertices[j].firstarc=p;
}
}
return OK;
}
void DestroyGraph(ALGraph *G)
{ /* 初始条件: 图G存在。操作结果: 销毁图G */
int i;
ArcNode *p,*q;
(*G).vexnum=0;
(*G).arcnum=0;
for(i=0;i<(*G).vexnum;++i)
{
p=(*G).vertices[i].firstarc; //第一个表结点的地址，头结点
while(p)
{
q=p->nextarc;
if((*G).kind%2) /* 网 */
free(p->info);
free(p);
p=q;
}
}
}
VertexType* GetVex(ALGraph G,int v)
{ /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点的序号。操作结果: 返回v的值 */
if(v>=G.vexnum||v<0)
exit(ERROR);
return &G.vertices[v].data;
}
Status PutVex(ALGraph *G,VertexType v,VertexType value)
{ /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点 */
/* 操作结果: 对v赋新值value */
int i;
i=LocateVex(*G,v); //先找到该顶点
if(i>-1) /* v是G的顶点 */
{
strcpy((*G).vertices[i].data,value);
return OK;
}
return ERROR;
}
int FirstAdjVex(ALGraph G,VertexType v)
{ /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点 */
/* 操作结果: 返回v的第一个邻接顶点的序号。若顶点在G中没有邻接顶点,则返回-1 */
ArcNode *p;
int v1;
v1=LocateVex(G,v); /* v1为顶点v在图G中的序号 */
p=G.vertices[v1].firstarc;
if(p)
return p->adjvex;
else
return -1;
}
int NextAdjVex(ALGraph G,VertexType v,VertexType w)
{ /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点,w是v的邻接顶点 */
/* 操作结果: 返回v的(相对于w的)下一个邻接顶点的序号。 */
/* 若w是v的最后一个邻接点,则返回-1 */
ArcNode *p;
int v1,w1;
v1=LocateVex(G,v); /* v1为顶点v在图G中的序号 */
w1=LocateVex(G,w); /* w1为顶点w在图G中的序号 */
p=G.vertices[v1].firstarc;
while(p&&p->adjvex!=w1) /* 指针p不空且所指表结点不是w */
p=p->nextarc;
if(!p||!p->nextarc) /* 没找到w或w是最后一个邻接点 */
return -1;
else /* p->adjvex==w */
return p->nextarc->adjvex; /* 返回v的(相对于w的)下一个邻接顶点的序号 */
}
void InsertVex(ALGraph *G,VertexType v)
{ /* 初始条件: 图G存在,v和图中顶点有相同特征 */
/* 操作结果: 在图G中增添新顶点v(不增添与顶点相关的弧,留待InsertArc()去做) */
strcpy((*G).vertices[(*G).vexnum].data,v); /* 构造新顶点向量 */
(*G).vertices[(*G).vexnum].firstarc=NULL;
(*G).vexnum++; /* 图G的顶点数加1 */
}
Status DeleteVex(ALGraph *G,VertexType v)
{ /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点 */
/* 操作结果: 删除G中顶点v及其相关的弧 */
int i,j;
ArcNode *p,*q;
j=LocateVex(*G,v); /* j是顶点v的序号 */
if(j<0) /* v不是图G的顶点 */
return ERROR;
p=(*G).vertices[j].firstarc; /* 删除以v为出度的弧或边 */
while(p)
{
q=p;
p=p->nextarc;
if((*G).kind%2) /* 网 */
free(q->info);
free(q);
(*G).arcnum--; /* 弧或边数减1 */
}
(*G).vexnum--; /* 顶点数减1 */
for(i=j;i<(*G).vexnum;i++) /* 顶点v后面的顶点前移 */
(*G).vertices[i]=(*G).vertices[i+1];
for(i=0;i<(*G).vexnum;i++) /* 删除以v为入度的弧或边且必要时修改表结点的顶点位置值 */
{
p=(*G).vertices[i].firstarc; /* 指向第1条弧或边 */
while(p) /* 有弧 */
{
if(p->adjvex==j)
{
if(p==(*G).vertices[i].firstarc) /* 待删结点是第1个结点 */
{
(*G).vertices[i].firstarc=p->nextarc;
if((*G).kind%2) /* 网 */
free(p->info);
free(p);
p=(*G).vertices[i].firstarc;
if((*G).kind<2) /* 有向 */
(*G).arcnum--; /* 弧或边数减1 */
}
else
{
q->nextarc=p->nextarc;
if((*G).kind%2) /* 网 */
free(p->info);
free(p);
p=q->nextarc;
if((*G).kind<2) /* 有向 */
(*G).arcnum--; /* 弧或边数减1 */
}
}
else
{
if(p->adjvex>j)
p->adjvex--; /* 修改表结点的顶点位置值(序号) */
q=p;
p=p->nextarc;
}
}
}
return OK;
}
Status InsertArc(ALGraph *G,VertexType v,VertexType w)
{ /* 初始条件: 图G存在,v和w是G中两个顶点 */
/* 操作结果: 在G中增添弧<v,w>,若G是无向的,则还增添对称弧<w,v> */
ArcNode *p;
int w1,i,j;
i=LocateVex(*G,v); /* 弧尾或边的序号 */
j=LocateVex(*G,w); /* 弧头或边的序号 */
if(i<0||j<0)
return ERROR;
(*G).arcnum++; /* 图G的弧或边的数目加1 */
if((*G).kind%2) /* 网 */
{
printf("请输入弧(边)%s→%s的权值: ",v,w);
scanf("%d",&w1);
}
p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
p->adjvex=j;
if((*G).kind%2) /* 网 */
{
p->info=(int*)malloc(sizeof(int));
*(p->info)=w1;
}
else
p->info=NULL;
p->nextarc=(*G).vertices[i].firstarc; /* 插在表头 */
(*G).vertices[i].firstarc=p;
if((*G).kind>=2) /* 无向,生成另一个表结点 */
{
p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
p->adjvex=i;
if((*G).kind==3) /* 无向网 */
{
p->info=(int*)malloc(sizeof(int));
*(p->info)=w1;
}
else
p->info=NULL;
p->nextarc=(*G).vertices[j].firstarc; /* 插在表头 */
(*G).vertices[j].firstarc=p;
}
return OK;
}
Status DeleteArc(ALGraph *G,VertexType v,VertexType w)
{ /* 初始条件: 图G存在,v和w是G中两个顶点 */
/* 操作结果: 在G中删除弧<v,w>,若G是无向的,则还删除对称弧<w,v> */
ArcNode *p,*q;
int i,j;
i=LocateVex(*G,v); /* i是顶点v(弧尾)的序号 */
j=LocateVex(*G,w); /* j是顶点w(弧头)的序号 */
if(i<0||j<0||i==j)
return ERROR;
p=(*G).vertices[i].firstarc; /* p指向顶点v的第一条出弧 */
while(p&&p->adjvex!=j) /* p不空且所指之弧不是待删除弧<v,w> */
{ /* p指向下一条弧 */
q=p;
p=p->nextarc;
}
if(p&&p->adjvex==j) /* 找到弧<v,w> */
{
if(p==(*G).vertices[i].firstarc) /* p所指是第1条弧 */
(*G).vertices[i].firstarc=p->nextarc; /* 指向下一条弧 */
else
q->nextarc=p->nextarc; /* 指向下一条弧 */
if((*G).kind%2) /* 网 */
free(p->info);
free(p); /* 释放此结点 */
(*G).arcnum--; /* 弧或边数减1 */
}
if((*G).kind>=2) /* 无向,删除对称弧<w,v> */
{
p=(*G).vertices[j].firstarc; /* p指隙サ鉾的第一条出弧 */
while(p&&p->adjvex!=i) /* p不空且所指之弧不是待删除弧<w,v> */
{ /* p指向下一条弧 */
q=p;
p=p->nextarc;
}
if(p&&p->adjvex==i) /* 找到弧<w,v> */
{
if(p==(*G).vertices[j].firstarc) /* p所指是第1条弧 */
(*G).vertices[j].firstarc=p->nextarc; /* 指向下一条弧 */
else
q->nextarc=p->nextarc; /* 指向下一条弧 */
if((*G).kind==3) /* 无向网 */
free(p->info);
free(p); /* 释放此结点 */
}
}
return OK;
}
typedef struct
{ /* 记录从顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义 */
VertexType adjvex;
VRType lowcost;
}minside[MAX_VERTEX_NUM];
int minimum(minside SZ,MGraph G)
{ /* 求closedge.lowcost的最小正值 */
int i=0,j,k,min;
while(!SZ[i].lowcost)
i++;
min=SZ[i].lowcost; /* 第一个不为0的值 */
k=i;
for(j=i+1;j<G.vexnum;j++)
if(SZ[j].lowcost>0)
if(min>SZ[j].lowcost)
{
min=SZ[j].lowcost;
k=j;
}
return k;
}
void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G,VertexType u)
{ /* 用普里姆算法从第u个顶点出发构造网G的最小生成树T,输出T的各条边 算法7.9 */
int i,j,k;
minside closedge;
k=LocateVex(G,u);
for(j=0;j<G.vexnum;++j) /* 辅助数组初始化 */
{
if(j!=k)
{
strcpy(closedge[j].adjvex,u);
closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j].adj;
}
}
closedge[k].lowcost=0; /* 初始,U={u} */
printf("最小代价生成树的各条边为:\n");
for(i=1;i<G.vexnum;++i)
{ /* 选择其余G.vexnum-1个顶点 */
k=minimum(closedge,G); /* 求出T的下一个结点：第K顶点 */
printf("(%s-%s)\n",closedge[k].adjvex,G.vexs[k]); /* 输出生成树的边 */
closedge[k].lowcost=0; /* 第K顶点并入U集 */
for(j=0;j<G.vexnum;++j)
if(G.arcs[k][j].adj<closedge[j].lowcost)
{ /* 新顶点并入U集后重新选择最小边 */
strcpy(closedge[j].adjvex,G.vexs[k]);
closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j].adj;
}
}
}
void main()
{
MGraph G;
CreateAN(&G);
MiniSpanTree_PRIM(G,G.vexs[0]);
}
注意：普里姆算法的时间复杂度为O(
二：克鲁斯卡尔算法
分析过程：在网中先选取最小边，继续找下一条次小边，如果和已选的边构成回路则舍弃，继续寻找直到所有顶点。
克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(e*
.