三门问题的贝叶斯证明

“三门问题”
“三门问题”是这样说的，在你面前有三扇门，每一扇门背后有一个礼物，它们分别是两只羊和一辆汽车。现在，由你选择好一扇门，告诉主持人，然后你走上前去把门打开，门后的礼物就是你的了。当然，汽车比羊值钱，你当然希望获得汽车。主持人知道哪一扇门背后有汽车，这时他改变了一下游戏规则，打算帮你一个忙。当你选择完要去开的那扇门后，他打开了一扇后面有羊的门，让你看到里面的羊。然后问你，是否要改变自己的选择呢？

解：

设三个门分别编号为1、2、3，则在三个门都关闭的情况下，三个门后面是汽车的概率都是1/3，设第i个们后面是汽车为事件Ai，则：
P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3

设“嘉宾第一次选择的是1门”，主持人打开2门，门后是羊为事件B，则
P(B|A1) = 1/2 、P(B|A2) = 0 、P(B|A3) = 1

P(B) = P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2) + P(B|A3) * P(A3)
= 1/2 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1*1/3
= 1/2

P(A3|B) = P(A3) * P(B|A3) / P(B）
= (1/3 * 1) / (1/2)
= 2/3

∴ 在主持人打开2门后面是羊的情况下，此时选择3门，后面是汽车的概率是2/3，要大于P(A1)，因此应该改变选择。

个人关于三门问题的一点感想详见另一篇文章