贝叶斯公式-----三门问题

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贝叶斯公式
通常，事件A在事件B(发生)的条件下的概率，与事件B在事件A的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定的关系,贝叶斯法则就是这种关系的陈述。贝叶斯法则是关于随机事件A和B的条件概率和边缘概率的。
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P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)

其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。

在贝叶斯法则中，每个名词俗称：
Pr(A)是A的先验概率或边缘概率。之所以称为"先验"是因为它不考虑任何B方面的因素。
Pr(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称作A的后验概率。
Pr(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称作B的后验概率。
Pr(B)是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量（normalized constant）

例：发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“∪”和“—”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“∪”时，收报台分别以概率0.8和0.2受到信号“∪”和“—”；又当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“∪”。求当收报台收到信号“∪”时，发报台确系发出“∪”的概率。
        P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)
        P(B|A）= (0.6*0.8)/(0.6*0.8+0.4*0.1)=0.923

扩展1：三门问题

扩展2：
（1）条件概率公式
设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：
P(A|B)=P(AB)/P(B)

（3）全概率公式
1. 如果事件组B1，B2，… 满足
1.B1，B2…两两互斥，即 Bi ∩ Bj = ∅ ，i≠j ， i,j=1，2，…，且P(Bi)>0,i=1,2,…;
2.B1∪B2∪…=Ω ，则称事件组 B1,B2,…是样本空间Ω的一个划分
设 B1,B2,…是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：
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上式即为全概率公式（formula of total probability)

2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi) (i=1,2,…)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,…Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,…ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+…+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)
=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(PBn)

例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
   P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)           
   P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345

贝叶斯公式-----三门问题

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